3.(αx，y)=α(x，y)

    4.(x，y)=(y，x)

    对任意的x，y∈X，α∈C，称(x，y)为x与y的内积，称X为内积空间。

    内积空间有如下特性：

    在内积空间X中，x⊥Iy⇔x⊥Py

    内积空间中，“⊥P”具有齐次性和可加性

    内积空间中的等腰正交有齐次性和可加性

    X为内积空间，当且仅当x⊥Py⇔x⊥Sy

    X为一个赋范线性空间，λ>0，若x，y∈S(X)，且∥x+λy∥=∥x−λy∥，则∥x+λy∥2=1+λ2就称X满足P

    λ性质

    Minkowski平面中若存在一个非零的⊥R正交元x0，且∀λ>0，满足Pλ性质，则该空间为内积空间

    X为三维实赋范空间，存在非零元素x，y，z∈X且满足下面两个条件:1.x⊥Py，x⊥Pz，y⊥Pz，且x与my，x与nzy与qz满足正交可加性，m，n，q∈Z+;2.x⊥Pαy+βz，y⊥Pαx+βz，z⊥Pαx+βyα，β∈R;则X为内积空间

    有限维空间X中存在一组非零的正交元x1，x2，...，xn且满足类似定理2.2.12中的条件两两互相P正交，元素及其整数倍满足正交可加性且xj⊥∑ni=1αixi，∀αi∈R且αj=0j=1，2...n则X为内积空间

    在数学中，一个柯西序列是指一个这样一个序列，它的元素随着序数的增加而愈发靠近。更确切地说，在去掉有限个元素后，可以使得余下的元素中任何两点间的距离的最大值不超过任意给定的正的常数。柯西列是以数学家奥古斯丁·路易·柯西的名字命名的。

    柯西列的定义依赖于距离的定义，所以只有在度量空间(metricspace)中柯西列才有意义。在更一般的一致空间(uniformspace)中，可以定义更为抽象的柯西滤子(Cauchyfilter)和柯西网(Cauchynet)。

    一个重要性质是，在完备空间（completespace）中，所有的柯西列都有极限，这就让人们可以在不求出这个极限（如果存在）的情况下，利用柯西列的判别法则证明该极限是存在的。柯西列在构造具有完备性的代数结构的过程中也有重要价值，如构造实数。

    一个复数序列被称为柯西列，如果对于任何正实数r>0，存在一个正整数N使得对于所有的整数。其中的竖线表示绝对值或模。类似地，我们可以定义实数的柯西列。

    任何收敛数列必然是柯西列，任何柯西列必然是有界序列。

    如果是一个由度量空间M到度量空间N的一致连续的映射，并且是M中的柯西列，那么也必然是N中的柯西列。

    如果和是有理数、实数或复数构成的柯西列，那么和也是柯西列。

    在一个拓扑向量空间X中同样可以定义一个柯西列：在X选择一个0局部基B，如果对于B中的任何元素V，存在一个正整数N使得对于任意的m，n>N而言，序列满足，那么这个序列就称为一个柯西列。

    如果这个拓扑向量空间X上有恰好可以引入一个平移不变度量d，那么上述方法定义的柯西列和利用这个度量d定义的柯西列是等价的。

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