即C实现了H与H*之间的保范共轭线性同构,在此同构意义下,把fy与y视为等同,便得H=H.这一性质也称为希尔伯特空间的自共轭性,它在希尔伯特空间算子理论中具有很重要的作用
第一个具体的希尔伯特空间最早是由希尔伯特(Hilbert,D.)在研究积分方程时首先提出的,他在平方可和的无穷实数列{xn}全体组成的空间l中规定了内积
({xn},{yn})=xnyn,
把空间l看做欧几里得空间向无穷维的推广,从而有效地解决了一类积分方程求解及本征展开问题.不久冯·诺伊曼(vonNeumann,J.)建立了一般希尔伯特空间的理论.希尔伯特空间的概念和理论已被广泛应用于数学和物理的各个分支.如积分方程、微分方程、随机过程、函数论、调和分析、数学物理和量子物理等
1.内积空间的完备子空间为闭集;
2.内积空间的有限维子空间是完备子空间。
在数学上,内积空间是增添了一个额外的结构的矢量空间。这个额外的结构叫做内积或标量积。这个增添的结构将一对矢量与一个纯量连接起来,允许我们严格地谈论矢量的“夹角”和“长度”,并进一步谈论矢量的正交性。内积空间由欧几里得空间抽象而来(内积是点积的抽象),这是泛函分析讨论的课题。
内积空间有时也叫做准希尔伯特空间,因为由内积定义的距离完备化之后就会得到一个希尔伯特空间。
在早期的著作中,内积空间被称作酉空间,但这个词已经被淘汰了。在将内积空间称为酉空间的著作中,“内积空间”常指任意维(可数/不可数)的欧几里德空间。
向量空间是欧几里得空间的推广。设E是域K上的向量空间,(,)是E上的双线性函数.若(,)满足下列条件,则E称为内积空间,(,)称为内积:
条件1.对称性
条件2.非退化性
若E,F是域K上的内积空间,则E×F也是K上的内积空间.若dimE=n,dimF=m,{aγ}与{bμ}分别是E,F的法正交基,则{aγ×bμ}是E×F的法正交基
内积(innerproduct),又称数量积(scalarproduct)、点积(dotproduct)
他是一种矢量运算,但其结果为某一数值,并非向量。
设矢量A=[a1,a2,...an],B=[b1,b2...bn],则矢量A和B的内积表示为:
A·B=a1×b1+a2×b2+……+an×bn
A·B=|A|×|B|×cosθ
|A|=(a1^2+a2^2+...+an^2)^(1/2);
|B|=(b1^2+b2^2+...+bn^2)^(1/2)
其中,|A|和|B|分别是向量A和B的模,是θ向量A和向量B的夹角(θ∈[0,π])。若B为单位向量,即|B|=1时,A·B=|A|×cosθ,表示向量A在B方向的投影长度。向量A为单位向量时同理。当向量A与B垂直时,A·B=0。
设X为复线性空间,如果对任给的x,y∈X都恰有一个复数,记为(x,y),与之对应,并且对应具有下列性质:
1.(x,x)≥0;(x,x)=0必须且只须x=0
2.(x+y,z)=(x,z)+(y,z)
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