做H到H的映射C如下：C：y→fy(y∈H)，则有[2]

    即C实现了H与H*之间的保范共轭线性同构，在此同构意义下，把fy与y视为等同，便得H=H.这一性质也称为希尔伯特空间的自共轭性，它在希尔伯特空间算子理论中具有很重要的作用

    第一个具体的希尔伯特空间最早是由希尔伯特(Hilbert，D.)在研究积分方程时首先提出的，他在平方可和的无穷实数列{xn}全体组成的空间l中规定了内积

    ({xn}，{yn})=xnyn，

    把空间l看做欧几里得空间向无穷维的推广，从而有效地解决了一类积分方程求解及本征展开问题.不久冯·诺伊曼(vonNeumann，J.)建立了一般希尔伯特空间的理论.希尔伯特空间的概念和理论已被广泛应用于数学和物理的各个分支.如积分方程、微分方程、随机过程、函数论、调和分析、数学物理和量子物理等

    1.内积空间的完备子空间为闭集；

    2.内积空间的有限维子空间是完备子空间。

    在数学上，内积空间是增添了一个额外的结构的矢量空间。这个额外的结构叫做内积或标量积。这个增添的结构将一对矢量与一个纯量连接起来，允许我们严格地谈论矢量的“夹角”和“长度”，并进一步谈论矢量的正交性。内积空间由欧几里得空间抽象而来（内积是点积的抽象），这是泛函分析讨论的课题。

    内积空间有时也叫做准希尔伯特空间，因为由内积定义的距离完备化之后就会得到一个希尔伯特空间。

    在早期的著作中，内积空间被称作酉空间，但这个词已经被淘汰了。在将内积空间称为酉空间的著作中，“内积空间”常指任意维（可数/不可数）的欧几里德空间。

    向量空间是欧几里得空间的推广。设E是域K上的向量空间，(，)是E上的双线性函数.若(，)满足下列条件，则E称为内积空间，(，)称为内积：

    条件1.对称性

    条件2.非退化性

    若E，F是域K上的内积空间，则E×F也是K上的内积空间.若dimE=n，dimF=m，{aγ}与{bμ}分别是E，F的法正交基，则{aγ×bμ}是E×F的法正交基

    内积（innerproduct），又称数量积（scalarproduct）、点积（dotproduct）

    他是一种矢量运算，但其结果为某一数值，并非向量。

    设矢量A=[a1，a2，...an]，B=[b1，b2...bn]，则矢量A和B的内积表示为:

    A·B=a1×b1+a2×b2+……+an×bn

    A·B=|A|×|B|×cosθ

    |A|=(a1^2+a2^2+...+an^2)^(1/2);

    |B|=(b1^2+b2^2+...+bn^2)^(1/2)

    其中，|A|和|B|分别是向量A和B的模，是θ向量A和向量B的夹角（θ∈[0，π]）。若B为单位向量，即|B|=1时，A·B=|A|×cosθ，表示向量A在B方向的投影长度。向量A为单位向量时同理。当向量A与B垂直时，A·B=0。

    设X为复线性空间，如果对任给的x，y∈X都恰有一个复数，记为(x，y)，与之对应，并且对应具有下列性质:

    1.(x，x)≥0;(x，x)=0必须且只须x=0

    2.(x+y，z)=(x，z)+(y，z)

聚合中文网 阅读好时光 www.juhezwn.com