在一个群中，同样可以定义柯西列：

    令表示一列有限指标的递减的G的正规子群，那么群G中一个序列称为柯西列（对于上述H而言），当且仅当对于任意的r，存在正整数N使得对于任意的m，n>N，都有。

    如果用C表示所有的这样定义的柯西列组成的集合，那么C在序列点点相乘的意义下构成一个新的群。而且，即所有空序列（对于任意r，存在N使得对于任意n>N，都有）构成了C的正规子群。而商群称为G相对于H的完备化。

    可以证明，这个完备化同构与序列的逆向极限同构。

    如果H是个共尾序列（即任何有限的正规子群均包含某个），那么这个完备化在与的逆极限同构的意义下是规范的，这里的H跑遍所有有限的正规子群。

    微积分（Calculus），数学概念，是高等数学中研究函数的微分（Differentiation）、积分（Integration）以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科，内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。

    微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。

    微积分的基本概念和内容包括微分学和积分学。微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等。积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等。

    从广义上说，数学分析包括微积分、函数论等许多分支学科，但是现在一般已习惯于把数学分析和微积分等同起来，数学分析成了微积分的同义词，一提数学分析就知道是指微积分。

    设函数在某区间内有定义，及+Δx在此区间内。如果函数的增量Δy=f（+Δx）–f（）可表示为Δy=AΔx+o（Δx）（其中A是不依赖于Δx的常数），而o（Δx）是比Δx高阶的无穷小，那么称函数f（x）在点是可微的，且AΔx称作函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分，记作dy，即dy=AΔx。

    通常把自变量x的增量Δx称为自变量的微分，记作dx，即dx=Δx。于是函数y=f（x）的微分又可记作dy=f'（x）dx。函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。

    设Δx是曲线y=f（x）上的点M的在横坐标上的增量，Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量，dy是曲线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量。当|Δx|很小时，|Δy－dy|比|Δx|要小得多（高阶无穷小），因此在点M附近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。

    积分是微分的逆运算，即知道了函数的导函数，反求原函数。在应用上，定积分作用不仅如此，它被大量应用于求和，通俗的说是求曲边三角形的面积，这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。

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