（第一节）指算开平方的布数、定位法
进行指算开平方运算，要将被开方数布人算指；布数时，要根据被开方数的位数确定它的首位数后，才能布人相应算指。这里，我们不妨设被开方数的位数为M，如果M为偶数，第一个不为零的数就是首位数；如果M为奇数，第一个不为零的数前面补一个0，这个0才是被开方数的首位数。确定了被幵方数的首位数后，从首指起将被开方数依次布入相应算指。例如，被开方数14.44的位数是偶数2，从首指起将1444依次布入相应算指；又如，被开方数0.0121的位数为奇数—1，第一个不为零的数前面补0后，从首指起，将0121依次布人相应算指。指算开平方的这种布数方法叫做首指布数法。
指算开平方，计算前要确定首指的数位。当被开方数的位数M为偶数时，利用公式开方数的位数去确定首指的数位。
如M=4，开方数的位数==2，首指就是十位；如M=—2，开方数的位数1，首指就是百分位。当M为奇数时，利用公式开方数的位数去确定首指的数位。如M=1，开方数的位数，首指就是个位；如M=—1，开方数的位数二，首指就是十分位。像上面这样的开平方定位方法，我们称为首指公式定位法。
指算开平方的布数、定位法决定了开方数的首位数，第二位数，第三位数相应地应布在首指，第二算指，第三算指…；同时，也决定了哪一位开方数，2倍舍十取个后与前面已确定了的开方数相乘，就相应地从哪一算指起依次从被开方数中减去这个乘积。这里，为避免在计算中出错，我们应按照指算乘法中“积的位数=被乘数的位数+乘数的位数”去确定积的位数。如327X3=0981，积的位数是3+1=4。当我们说从某一算指起减去积327x3时，是指要减去的是四位数0981，而不是三位数981。可见，一个数前面补0，对这个数的大小并无影响，但它在加减中起着非常重要的占位作用。
（第二节）指算开平方
开平方与平方互为逆运算，由第五章公式一：
（10b+c）2.b（10b+2c）10+c2本（lOb+c）2=b2，100+b，2c，10+c2。
两边开平方，取算求根，得10b+c，b2100+b2c10+c2，XOQ—b.2c.lQ。
这里上=1，2，3，4，5，6，7，8，9，1，2，3，4。
可以看出，开方数的首位为b时，就应从被开数的首位起依次减去开方数b自乘所得的两位数积，即b2。开方数的第二位为c时，可分为两个步骤：（1）从被开方数的第二位起，依次减去开方数c的二蓓与前面已确定的开方数b的积，即lv2c；（2）从被开方数的第三位起依次减去第二位开方数c自乘所得的积，即c2。（1）（2）两个步骤待计算比较熟练后，可合在一起，一次性从被开方数中减去。这里应注意，当c=l，2，3，4时，c2=01，04，09，16。所以，当c=4时，在减去lv2c的同时，不要忘记在被开方数的第三位上还要减去1，而被开方数的第四位上减去的都是c2的个位数，即1，4，9，6。
（由第五章公式二）
（10b+c）2=（b+l）[10b+（2c—10））—10+（10—c）2得4。
（10b+c）2—100+b.100+（b+1）（2c—10）10+（10—c）2，两边开平方，取算术根，得10b+c=Vby，100+（b+l）（2c—10V10+（lOcT，—b2100—b，100—（b+1）（2c—10）x10—（10—c）—i。
这里b—l，2，3，4，5，6，7，8，9；c=5，6，7，8，9。
可以看出，当开方数的首位为b时，就应从被开方数的首位起依次减去开方数b自乘所得的两位数积b2。当幵方数的第二位为c时，分三个步骤：（1）在被开方数的第二位上减去已确定的开方数b；
（2）将开方数c二倍舍十取个，得2c—10，再将前面已确定的开方数b与1相加，得b+1，然后将这两个结果相乘，积为（b+l）（2C—10），从被开方数的第二位起依次减去积（b+l）（2c—10）；（3）从被开方数的第三位起依次减去第二位开方数c的补数自乘所得的积（10—c）2。
（3）两个步骤，计算比较熟练后，也可合在一起，一次性从被开方数中减去。同样，应注意的是：当c=5，6，7，8，9时，（10—c）2=25，16，09，04，01。所以，当c=5时，要在被开方数的第三位上减去2；当c=6时，要在被开方数的第三位上减去1。而被开方数的第四位上减去的都是（10—c）2的个位数，也就是c2的个位数，即5，6，9，4，1。
在指算开平方的实际运算中，首位开方数和笔算开平方一样，是很容易确定的。从开方数的第二位起，同除法运算中要“试商”一样，就要通过试验去确定开方数。下面，我们就以确定第二位开方数为例来具体说明确定各位开方数的一些方法和步骤。
如果首位开方数m已确定，假设m=7，要确定第二位开方数n，就要看一看被开方数中从首位起减去72=49后余数的首位在哪一算指上。
（一）余数的首位在第二算指上，将第二算指上的余数与首位开方数7进行比较。
（1）首位余数小于7，或首位余数等于7但后面两位余数，即第三、第四两算指上的余数小于25：
（i）用8去乘7，由Sn—S，得n=4。因此，从第算指起，应减去的数就是7x8；4“56+l；6—576。如果够减576，就确定第二位开方数如果不够减，就用6去乘7。
（ii）用6去乘7，由2n=6，得n=3。因此，从第二算指起，应减去的数就是7x6；3“42；9.429。如果够减429，就确定n=3；如果不够减，就用4去乘7。
（m）用4去乘7，由2n=4，得n=2。因此，从第二算指起，应减去的数就是7x4；2284。如果够减284，就确定n=2；如果不够减，就用2去乘7。
（iV）用2去乘7，由2n=2，得n=l。因此，从第二算指起，应减去的数就是7x2；l2—141。如果够减141，就确定n=l；如果不够减，就确定n=0。
（2）首位余数大于7，或首位余数等于7且后面两位余数，即第三、第四两算指上的余数不小于25，这时，就应从第二算指起减去7，然后再按如下方法和步骤去确定第二位开方数n：
（i）用8去乘（7+1），由2n—10=8，得n—9。因此，从第二算指起应减去的数就是（7+1）x8；（109）64；1—641。如果够减641，就确定n=9；如果不够减，就用6去乘（7+1）。
（ii）用6去乘（7+1），由2n—10=6，得n=8。因此，从第二算指起应减去的数就是484。如果够减484，就确定n=8，如果不够减，就用4去乘（7+1）。
（扭）用4去乘（7+1），由2n—10=4，得n=7。因此，从第二算指起应减去的数就是（7+1）x4；（10—7）l>32；9—329。如果够减329，就确定n=7；如果不够减，就用2去乘（7+1）。
（iV）用2去乘（7+1），由2n—10=2，得n=6。因此，从第二算指起应减去的数就是（7+l）x2；（10—6）2.>16+l；6—176。如果够减176，就确定n=6；如果不够减，就用0去乘（7+1）。
（乂）用0去乘（7+1），由2n—10=0，得n=5。因此，从第二算指起应减去的数就是（7+l）x0；（10—这时，就确定n=50。
（二）余数的首位在第二算指的前一位上，即在首指上，这时，余数的首位一定为1。由于首指上已布人首位开方数7，1应该也很容易用脑记住，这样，从第二算指起减去7，就是首位为1的两位数减去一位数7，它总是够减的，因此，就可按上面（一）之（2）中步骤去确定开方数n。
（三）余数的首位在第二算指的后面算指上，即在第三，第四等算指上，这时，可把余数的首位看做在第二算指上，并规定余数的首位为0。这种情况，就可按上面（一）之（1）中步骤去确定开方数。
在指算开平方中，确定每一位开方数，最为关键的是要看余数的首位在哪一算指上。明确了这一点，对于要确定的开方数在哪些数的范围内去试验，就会胸中有数。因此，对于上面（一）、（二）、（三）三种情况有必要作如下的规范叙述：
（一沖的情况叙述为：“得到从第二算指起的余数‘XXX’；
（二）中的情况叙述为得到从第二算指前一位起的余数“lxx；”
（三）中的情况叙述为得到从第二算起的余数‘Oxx’（或‘00乂’，或‘00’等）。余数，“0”，“—父”说明余数不为零的首位数分别在第二算指的后一位，后二位，后三位等算指上，也就是说分别在第三，第四，第五等算指上。
上面对于三种情况的叙述，之所以总是反复强调“第二算指”，是为了在计算中使我们明确：（1）下面要确定的是第二位开方数；（2）第二位开方数要布在第二算指上；（3）减去与第二位开方数有关的数时，应从第二算指起依次减去；（4）第二位开方数应在哪些数的范围内去确定。可见，这样的规范叙述有助于我们进行快速准确的判断，进一步提高计算的速度和准确率。
确定第三，第四等数位上的开方数，其方法、步骤与确定第二位开方数基本相同，通过对下面例题的学习，我们将会更具体地了解这一点。
例1：
指算过程：因为M=3是奇数，从首指起，将0529依次布入算指。由JL=2，得首指是十位，在左手简图的左上角用符号“昱”被开方数首两位为05，得开方数的首位为2，从首指起，减去22=04的同时，在首指上布入首位开方数2，得到从第二算指起的余数129；首位余数1<2，用6去乘2，由2n=6，得n=3，从第二算指起应减去的数就是2x6；312；9—129，减去129的同时，在第二算指上布人第二位开方数3，得余数0，这时，从首指起，算指上表示的数字为2、3。因为“S”表示首指是十位，所以V5W=23。
例2、V624T
指算过程：M=4是偶数，从首指起，将6241依次布人算指。由f=2，得首指为十位，在左手简图的左上角用符号“1”表示（6+4）；被开方数首两位为62，得首位开方数为7，从首指起，依次减去72=49的同时，在首指上布人首位开方数7，得到从第二算指前一位起的余数1341（首位余数1应脑记，如；余数的前两位13>7，从第二算指起减去7，得到从第二算指起的余数641；用8去乘（7+1），由2n—10=8，得n=9，从第二算指起应减去的数就是（7+l）x8；（10—9）64；1—641，减去641的同时，在第二算指上布入第二位开方数9，得余数0，这时从。因为“S”表示首指是十位，所以V624T79。
上面例2，在确定首位开方数7的同时，一眼就能看出从被开方数的前两位62里面减去首位开方数自乘的积了、首位余数1在第二算指的前一位上，这样，余数的前两位13总比7大，因此，我们可一次性从62里面减去7x8=56，相当于从62里面减去49，又减去首位开方数7。事实上，从首指起减去7x8=56，得余数641，与表示的数相同，而后再按例2后面步骤去做。
例3、V16641
指算过程：M=5，是奇数。从首指起，将016641依次布人算指。由=3，得首指为百位，在左手简图的左上角用符号表示；被开方数首两位为01，得首位开方数为1，从首指起减去101的同时，在首指上布人首位开方数1，得到从第二算指起的余数06641；第二算指上首位余数0<1，用4去乘1，由2n=4，得n=2，从第—算指起应减去的数就是lx4；2LK）44，减去044的同时，在第二算指上布人第二位开方数2，得到从第三算指起的余数2241；因为22>12，从第三算指起减去12，得到从第三算指起的余数1041（用8去乘（12+1），由2ii—10=8，得11=9，从第三算指起应减去的数就是（12+l）x8；（10—9）2—104；1—1041，减去1041的同时，在第三算指上布人第三位开方数9在开平方的计算中，大多数题目是不能开尽的。
这时，我们就要根据题目要求（或客观实际的需要）利用四舍五人的方法求出近似值。其实，在计算中，当达到要求保留的最后数位时，对于后一位开方数，我们无需求出它，只要能判断出它是否满5即可。如果满5，就在要求保留的最后数位上进1；如果不满5，就舍去。这样求近似值，既能达到题目要求的精确度，又能提高计算速度。从前面指算中确定各位开方数的方法步骤中，我们得到启示：要判断哪一位上的开方数是否满5，就要看从哪一算指起减去一个数是否够减。要减去的这个数，前几位就是已确定了的几位开方数，后两位是25。如果够减这样一个数，就是满5，即该位开方数在5，6，7，8，9中选择；如果不够减，就是不满5，即该位开方数在0，1，2，3，4中选择。下面，我们不妨以判断第三位开方数是否满5为例来具体说明这个问题。
设巳确定了的第一位开方数为8，第二位开方数为3。判断第三位开方数是否满5，就要看从第三算指起，减去8325时，布在一定算指上的余数是否够减，有以下三种情况。
（1）不为零的首位余数在第三算指的前一位上（这种情况下，余数的首位肯定是1），因为8325要从第三算指起减去，而余数的首位1在前一算指上，显然够减8325，所以第三位开方数满5。
（2）不为零的首位余数在第三算指的后面某一位上，因为余数的首位为0，即第三算指上的余数为0，而8325要从第三算指起减去，显然不够减，所以第三位幵方数不满5。
（3）不为零的首位余数在第三算指上：
（i）首两位余数大于83，从第三算指起，够减8325，所以第三位开方数满5；
（ii）首两位余数小于83，从第三算指起，不够减8325，所以第三位开方数不满5；
（诅）首两位余数等于83，再往后看两位，如果后两位满25，就是够减8325，第三位开方数满5，如果后两位小于25，就是不够减8325，第三位开方数不满5。
例4VT（保留4个有效数字）
指算过程：M=1是奇数，从首指起，将03依次布人算指。由=1，得首指为个位，在左手简图的左上角用符号“fi”表示；被开方数首两位为03，得首位开方数为1，从首指起减去12=01的同时，在首指上布人首位开方数1，得到从第二算指起的余数2；从第二算指起减去1，得到从第二算指起的余数1；用4去乘（1+1），由2n—10=4，得n=7，从第二算指起应减去的数就是（a+l）x4；（10—7）h08；9—089，减去089的同时，在第二算指上布入第二位开方数7，得到从第三算指起的余数11.；用6去乘17，由2n=6，得n=3，从第三算指起应减去的数就是17x6；3bK）29，减去1029的同时，在第三算指上布入第三位开方数3，得到从第四算指起的余数071；用4去乘173，由2n=4，得n=2，从第四算指起应减去的数就是173x4；
20692；4—06924，减去06924的同时，在第四算指上布人第四位开方数2，得到从第五算指起的余数0176（末两位余数76，无算指表示，可脑记；因为0176<1732，第五位开方数不满5，舍去，这时，从首指起，算指上表示的数字为1、7、3、2。因为“G”表示首指是个位，所以3.1.732。
例5VT（保留4个有效数字）
指算过程：是奇数，从首指起，将07依次布入算指。由=得首指是个位，在左手简图的左上角用符号“兑”表示；由被开方数首两位07，得首位开方数为2，从首指起减去22=04的同时，在首指上布入首位开方数2，得到从第二算指起的佘数3；从第二算指起减去首位开方数2，得到从第二算指起的余数1；用2去乘（2+1），由2n—10=2，得n=6，从第二算指起应减去的数是（2+l）x2；（10—6）206+1；6—076，减去076的向时在第二算指上布人第二位开方数6，得到从第三算指起的余数24；用8去乘26，由2n—8，得n=4，从第三算指起应减去的数是2096，减去2096的同时在第三算指上布人第三位开方数4，得到从第四算指起的余数304；从第四算指起减去264，得到从第四算指起的余数04；用0去乘（264+1），由2n—10=0，得n=5，从第四算指起应减去的数是（264+l）x0；（10—5）’—0000+2；5—00025，从第四算指起减去00025的同时，在第四算指上布入第四位开方数5，得到从第五算指起的余数3975（75无算指表示，可脑记；因为3975大于已确定的前四位开方数2645，所以第五位开方数满5，应向前一位进1，这时，从首指起，各算指所表示的数字为2、6、4、6。因为“G”表示首指是个位。
例6V225A5（保留4个有效数字）
指算过程：M=3是奇数，从首指起将022515依次布入算指。由=2，得首指为十位，在各左手简图的左上角用符号“昱”表示；由被开方数首两位02，得首位开方数为1，从首指起依次减去12=01的同时，在首指上布入首位开方数1，得到从第二算指起的余数12515；第二算指上首位余数1等于首位开方数1，且首位余数的后两位等于25，因此，从第二算指起减去1，得到从第二算指起的余数02515；用0去乘（1+1），由2n—10=0，得n=5，从第二算指起应减去的数就是（1+1）><0；（10—5）00+2；5—025，减去025的同时，在第二算指上布入第二位开方数5，得到从第三算指起的余数0015；容易得出，第三位，第四位开方数都是0，因为从第五算指起的余数1500等于前四位开方数1500，再往后看两位余数，都是0，小于25，不够减150025，所以第五位开方数不满5，舍去，这时，从首指起，算指上表示的数字为1、50因为“S”表示首指是十位，题目要求保留4个有效数。
例7V0.034226T（保留4个有效数字）
指算过程：M=—l是奇数，从首指起将034226依次布入算指。由.=0，得首指为十分位，在各左手简图的左上角用符号“左”表示；由被开方数首两位03，得首位开方数为1，从首指起减去12=01的同时，在首指上布入首位开方数1，得到从第二算指起的余数24226；从第二算指起减去首位开方数1，得到从第二算指起的余数14226；用6去乘（1+1），由2n—10=6，得n=8，从第二算指起应减去的数就是（1+1）x6；（10—8）2—12；4—124，减去124的同时，在第二算指上布人第二位开方数8，得到从第三算指起的余数1826；从第三算指起，减去前两位开方数18，得到从第三算指起的余数0026；用0去乘（18+1），由2n—10=0，得11=5，从第三算指起应减去的数就是（18+1）0；（10—5）2—000+2；5—0025，减去0025的同时，在第三算指上布入第三位开方数5，得到从第四算指起的余数001；显然，第四位开方数为0，将0布人第四算指，得到从第五算指起的余数01（；因为0100小于前四位开方数1850，所以第五位开方数不满5，舍去，这时，从首指起，各算指上表7K的数字为1、8、5、0。因为“S..”表示首指是十分位，所以V0.034226—0.1850。
例8V35784（保留4个有效数字）
指算过程：M=2是偶数，从首指起，将35784依次布入算指。
由=1，得首指为个位，在各左手简图的左上角用符号“fi”表示；被开方数首两位是35，得首位开方数为5，从首指起减去52=25的同时，去掉首指上的1，用脑记住，在首指上布入首位开方数5，得到从第二算指前一位起的余数10784；从第二算指起，减去首位开方数5，得到从第二算指起的余数5784；用8去乘（5+1），由2n—10=8，得n=9，从第二算指起应减去的数就是481，减去481的同时，在第二算指上布入第二位开方数9，得到从第三算指起的余数974；从第三算指起减去前两位开方数59，得到从第三算指起的余数384；用6去乘（59+1），由211—10=6，得11=8，从第三算指起应减去的数就是（59+l）x6；（10—8）360；4—3604，减去3604的同时，在第三算指上布人第三位开方数8，得到从第四算指起的余数2366—45）；用2去乘598，由2n=2，得n=l，从第四算指起应减的数就是598x21961，减去11961的同时，去掉第四算指上的首位余数1，用脑记住，并在第四算指上布人第四位开方数1，得到从第五算指前一位起的余数11639（余数末两位39无算指表示，用脑记住；因为11639大于前四位开方数5981，所以第五位开方数满5，向前一位进1，这时，从首指起，算指上表示的数字为5、9、8、2。因为“G”表示首指是个位。
1.用指算进行数的开平方计算时，是怎样布数、定位的？
2.确定某一位开方数的方法和步骤是什么？
3用指算求出2，3，5，6，7，8等数的算术平方根（结果保留4个有效数字）。
4.用指算求出下面各数的算术平方根。
121，484，625，196，441。
225，324，529，676，144。
256，729，961，289，361。
576，169，784，841，1024。
（2），1089，2025，7921，1681，3969。
1156，1849，1225，1936，2401。
1764，6084，1444，2209，1521。
2116，1296，9604，1369，2304。
（3），12321，75076，34969，11664，99225。
17689，63504，95481，21609，83521。
19044，71824，94249，59536，29241。
97969，34225，70756，97344，26569。
（4），531441，341056，100489，753424，933156。
431649，249001，140625，619369，698896。
165649，762129，817216，327184，361201。
553536，156025，183184，443556，788544。
5.用指算求出下面各数的算术平方根（保留4个有效数字）。
（1），10，38，47，28，59，94。
73，82，65，31，99，54。
29，78，68，41，35，96。
87，11。
（2），123，574，257，381409，945。
816，760，632，198687，264。
958，146，711，369522，823。
495，809。
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