（第一节）两位数的平方
设一个两位数十位上的数为b，个位上的数为c，这里，b=l，2，3，4，5，6，7，8，9；c=l，2，3，4，则这个两位数的平方就是（10b+c）2—（10b）2+2（10b）c+c2=b（10b+2c）—10+c2，即（10b+c）2=b（10b+2c）=10+c2（公式一）
在公式一中，10b+2c也是一个两位数，它的十位仍是原两位数10b+c十位上的数b，它的个位是原两位数lOb+c个位上数c的2倍，即2c。因为c=l，2，3，4，所以，2c=2，4，6，8ob（10b+2c）就是用原两位数十位上的数b去乘（用b的一口清）两位数10b+2c，c2是原两位数10b+c的个位数c自乘。由c=l，2，3，4，得c2=l，4，9，16。当c=l，2，3时，平方数（10b+c）2由个位向前一位（十位）的进位数为0，即不进位，个位分别是1，4，9；当c=4时，平方数（10b+c）2由个位向前一位，即十位的进位数为1，而个位由16舍十取个得。
6。因此，（lOb+c）2的结果，就是用两位数lOb+c十位上的数b去乘（用b的一口清）两位数10b+2c所得的积同两位数lOb+c的个位数c自乘所得的积错位相加而得。
例1、612
解：已知，b=6，c=l，由公式一（10b+c）2=b（10b+2c）x10+c2，得612=6x（10x6+2x1）x10+12.662x10+1=3720+1=3721，也就是616x62；1372；1—3721，所以612=3721。
例2、232
解：已知，b=2，c=3，由公式一（10b+c）2=b（10b+2c）x10+c2，得232x（10x2+2x3）xlO+32=2x26x10+9=520+9=529，也就是232x26；3052；9—>0529，所以232=529。
例3、942
解：已知，b=9，c=4，由公式一（10b+c）2=b（10b+2c）xl0+c2，得942=9x（10x9+2x4）x10+42=9x98x10+16=（882+1）x10+6=8836，也就是949x98；4882+1；6—>883；6—8836，所以942=8836。
用以上方法练习一个阶段后，计算中，可利用第二种方法直接得出结果。
例4、822
解：828x84；2672；4—6724，所以822=6724。
设一个两位数十位上的数为b，个位上的数为<：，这里b=l，2，3，4，5，6，7，8，9；c=5，6，7，8，9，则这个两位数的平方就是（lOb+dUlOb+c）2—（10—c）2〕+（10—c）2=（10b+c+10—c）（1Ob+c—10+c）+（10—c）2—（10b+10）（10b+2c—10）+（10—c）2=（b+l）〔10b+（2c—10）〕.10+（10—c）2，即（10b+c）2=（b+l）[10b+（2c—10）]—10+（10—c）2（公式二）
在公式二中，10b+（2c—10）也是一个两位数，它的十位仍是原两位数10b+c十位上的数b，它的个位是把原两位数10b+c个位上的数c二倍后舍十取个得2c—10。因为c=5，6，7，8，9，所以2c—10=0，2，4，6，8o（b+l）〔10b+（2c—10）〕就是用原两位数10b+c十位上的数b与1的和，即用（b+1）去乘（用b+1的一口淸）两位数〔10b+（2c—10）〕；（10—c）2是原两位数10b+c的个位数c的补数自乘。由c=5，6，7，8，9，得（10—c）2=25，16，9，4，lo当c=5时，向平方数（10b+c）2十位上的进位数为2，而个位由25舍十取个得5；当c=6时，向平方数（10b+c）2十位上的进位数为1，而个位由16舍十取个得6；当c=7，8，9时，向平方数（10b+c）2十位上的进位数为0，即不进位，则个位分别为9，4，1。因此，（10b+c）2的结果，就是用两位数（10b+c）十位上的数b与1的和，即用（b+1）去乘（用b+1的一口清）两位数〔10b+（2c—10）〕所得的积同两位数10b+c个位上数c的补数自乘所得的积错位相加而得。
例5、682
解：已知’bM’d，由公式：（10b+c）2=（b+l）[10b+（2c—10）]—10+（10c）2，得682=（6+l）x（10x6+（2x8—10）]xl0+（10—8）2=7x66x10+4=4620+4=4624，也就是682.x66；22.462；4.4624，所以682=4624。
例6、462
解：已知，b=4，c=6，由公式二（10b+c）2=（b+l）〔10b+（2c—10）〕=10+（10—c）2，得462=（4+l）x〔10x4+（2x6—10）〕xlO+（10—6）2=5x42x10+16=（210+l）xl0+6=2110+6=2116，也就是465x42+1；6—211。
6—2116，所以462116。
例7、852
解：859x80+2；5—722；5—7225，所以852=7225，两位数的平方，利用上面的公式一、公式二可转化为一个一位数乘以两位数的乘法。如392—4x38；1—152；1—1521，即3921521。只有当一个两位数的十位数b=9，个位数c=5，6，7，8，9时，可转化为一个两位数10乘以两位数的乘法。如9610x92+1；6—921；6—9216，即962=9216。因此，对于两位数的平方，不必用指算进行计算，可用单乘一口清直接脑算得出结果。
19这9个数的平方，我们都能脱口而出；对于11x19，21x25这14个数的平方，我们应该反复练习，也要达到脱口而出的程度。记住了这23个数的平方，对于我们记住其他两位数的平方是很有帮助的，例如：
（1），32=0009，472=2209，532=2809，972=9409；
（2），172=0289，332=1089，672=4489，832=6889；
（3），242=0576，262=0676，742=5476，762=5776。
上面这三组平方数，每一组平方数的末尾两位数都相等。后面我们将要学习三位数的平方，三位数平方的指算计算，要时时用到1x25这些数的平方。因此，为了方便运用，125这些数的平方，有必要用一个式子来表示它。这里，我们设10bQ+C是一个两位数，且OKlObc。在25，这样125这些数的平方就可表示为（10ba+c0）2。
学习了两位数的平方速算法后，这里我们再顺便介绍一下十位上的数相等的两个两位数相乘的速算法。
由公式一、公式二，经过推理，可得到如下公式：
（10b十Ci）（10b+c2）b[10b+（ci+c2）〕lO+c，（Ci+c2<10），（b+1）[10b+（ci+c2—10）〕10+（10—c1）（10—c2）（ci+c210）0（公式三）
这里都是小于10的自然数。
以上，我们共学习了三个公式，其实，只要我们记住公式三就可以了，因为对于任何十位上的数相等的两个两位数相乘，都可利用公式三进行计算。显然，两位数的平方，就是cfq的一种特殊情况。
利用公式三进行计算时，判断由个位向十位的进位数是一个难点，下面我们就介绍一种简易判断方法。
设十位上的数相等的两个两位数的个位分别为q、c2：（i）c+c2<10时，
CiC2，cx+c2积的十位上数字一和的十位上数字=进位数。例如：2x3=06，2+3=050，（积的十位上数字）一0（和的十位数字）=0。
所以，当十位上的数相等的两个两位数的个位分别为2、3时，向十位的进位数为0，即不进位。
又如5x4=20，5+4=092（积的十位上数字）一0（和的十位上数字）=2。
所以，当十位上的数相等的两个两位数的个位分别为5、4时，向十位的进位数为2。
事实上，前面我们学习两位数的平方，当底数的个位是4时，向十位的进位数为1，也可用这个简易法去判断：
4x4=16，4+4=081（积的十位上数字）—0（和的十位上数字）=1。ii）当ct+c2彡10时，C1C2，C1+C2积的十位上数字一和的个位上数字=进位数。例如：
3x9=27，3+9=122（积的十位上数字）一2（和的个位上数字）=0。
所以，当十位上的数相等的两个两位数的个位分别为3、9时，向十位上的进位数为0，即不进位。
同样，前面我们学习两位数的平方，当底数的个位是5时，向十位的进位数为2，也可用这个简易法去判断：
5x5=25，5+5=102（积的十位上数字）一0（和的个位上数字）=2。
例8、31x38：18=08，1+8=09，0—0=0，由公式三，得31x38—3x39；8—117；8—1178。
所以31x38=1178
例9、52x57。
解：2x7=14，2+7=09，52x57—5x59+1；4—295+1；4—2964，所以：52X57=2964。
例10、83x89
解：3x9=27，3+9=12。
83X89—9x82；7—738；7—7387，所以：83x89—7387。
例11、94x98
解：4x8=32，4+8=12，94x98—10x92+1；2—920+1；2—9212，所以94x98=9212。
例12、76x74
解：6x4=24
6+4=10，2—0=2，76x748x70+2；4.560+2；4.5624，所以76x74=5624。
（第二节）三位数的平方
设一个三位数百位上的数字为a，十位上的数字为b，个位上的数字为c，这个三位数就是100a+10b+c=10（10a）+（10b+c）0令10a=A，10b+c=B，则（100a+10b+c）2=（10A+B）2，由公式一、公式二整理综合后。
公式四中，a、b、c都是小于10的自然数。
公式四中的（2—b。）1000，就是当bQ=0时，在平方数的千位上加2；当bfl时，在平方数的千位上加1；当1>。=2时，在平方数的千位上加0。
公式四中的（5—c。）100，就是在平方数的百位上加c。的凑数。
例13、7232
解：已知，a=7，10b+c=10b0+c0=23，由公式四（100a+10b+c）a（100a+2（10b+c）〕100+（10b0+c。）2，得723V7x（100x7+2x23）x100+232=7x746x100+0529=522200+529—102—=522729，也就是：
7237x746；235222；529—>522729，所以723522729。
指算过程：从首指起将723依次布入算指，由2M=6，得首指是十万位；从第四算指起将232=529（232=0529，去掉前面的0）依次布入算指；用7去乘746（用7的一口清），得5222，去掉算指上的723，从首指起依次加上5222，这时，从首指起，算指上的数字为5、2、2、7、2、9。因为首指是十万位，所以7232=522729。
例14、5312
解：已知，a=5，10b+c=31，10bo+C，由公式四（100a+10b+c）2句〔10（k+2（10b+c）>lOOQfUObb+c+G—b100QK5、）100得：
5312=5x（100x5+2x31）xl00+（2—l）xl000+（5—9）xl00+192=5x562x100+1000—400+361=281000+1000—400+361=281961。
也就是：
53125x562；25—19；192810；6；3612810；%1—281%1，所以—1035312=281961。
指算过程：从首指起，将531依次布入算指，由2M=6，得首指是十万位；从第四算指起，依次布入192=361的同时，在第四算指上加6，得961；用5去乘562，得2810，去掉算指上的531，从首指起，依次加2810，这时，从首指起，各算指上的数字为2、8、1、9、6、1。因为首指是十万位，所以531—281961。
例15、62.82
指算过程：从首指起，将628依次布入算指。由2M=4，得首指是千位，在左手简图的左上角用符号“fi”表示；由10b+c=28，得10bG+c（尸22，25—22—3，222—484，从第四算指起，依次布人222=484的同时，在第四算指上加3，得784；用6去乘656，得3936，去掉算指上的628，从首指起，依次加3936，这时，从首指起，各算指上表示的数字为3、9、4、3、8、4。因为“Q”表示首指是千位，所以62.82=3943.84。
指算过程：从首指起，将856依次布人算指。由2M=2，得首指是十位，在左手简图的左上角用符号“玉”表示；由10b+c=56，得10bG+cG=6，25—6=19，62=36，脑记在第三算指上要加的数字1，从第四算指起依次布人62=036的同时，在第四算指上加上9得936；用9去乘812，得7308，去掉算指上的856，从首指起，依次加7308的同时，在第三算指上加前面脑记的数字1，这时，从首指起，各算指上表示的数字为7、3、2、7、3、6。因为“S”表示首指是十位，所以8.562=73.2736。
指算过程：从首指起，将174依次布入算指。由2M=0，得首指是十分位，在左手简图的左上角用符号“左”表示；由lOb+c—74，得从第四算指起依次布入242=576的同时，在第四算指上加1，得676；用2去乘148，得0296，去掉算指上的174，从首指起，依次加0296，这时，从首指起，各算指上表示的数字为0、3、0、2、7、6。因为“S—”表示首指是十分位，所以0，1742=0.030276。
例18、4972
指算过程：从首指起，将497依次布入算指，由2M—6，得首指是十万位；由10b+c=97，得lOba+03，从第四算指起，将32=009依次布入算指；用5去乘494，得2470，去掉算指上的497，从首指起，依次加2470，这时，从首指起，各算指上的数字为2、4、7、0、0、9，因为首指是十万位，所以4972=247009。
练习
1.用指算进行数的平方计算时，是怎样布数的？是怎样定位的？
2.用指算计算11x19，21x25这些数的平方，并将结果与1x9这9个数的平方一起刊成一个表，以便查用。
3.用公式四分别计算442，582，852（百位上可看做数字0）。通过计算，对你有什么启示？
4.用指算求下面各数的平方。
11、39，61，89，13，37，63，87，14，36，64，86，16，34，66，17，33，67，83，19，31，69，81，22，
28，72，78，24，26，74，76，35，47，92，88，97，29，48，94，53，704，207，512，315，918，421，823，125，346，643，838，135，732，529，227，475，554，157，462，765，268，971，373，694，196，893，388，685，582，779，977，748，929，588，644，791，478，397，246，859。
f求下面各数的平方。
1.2，0.34，0.58，0.15，0.048，0.0540.018，0.46，0，68，2.3，4—4，7.92，7，5.6，0.94，6，43，9.18，1.87，1.06，0.0446，56.80.574，743，32.4，29.6，0.0874，0.95，337.8，69.4，0.0862。
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