的开方为x的范数（‖x‖即x的“长度”），这时，H成为一个赋范空间。如果作为赋范空间，H是完备的（见巴拿赫空间），就称H为希尔伯特空间。作为希尔伯特空间的例子，除了欧几里得空间和l空间以外，还有勒贝格平方可积函数空间L^2[α，b]（其中内积规定为（f，g）=f(t)g(t)(实数域)或f(t)乘以g(t)的共轭（复数域）在(α，b）区间的积分，而α，b也可为无限大）。在数学物理中越来越多地使用各种类型的希尔伯特空间。 在内积空间中，由内积导出的范数必满足类似于平面几何学中的平行四边形公式，即对H中任何x、y， ||x+y||^2+||x-y||^2=2(||x||^2+||y||^2)； 反之，一个赋范线性空间H，若它的范数满足上述平行四边形公式，则这个范数必是由定义在H上的某个内积导出的范数。 内积还有重要的柯西-施瓦茨不等式：|(x，y)|<=||x||*||y||。 在希尔伯特空间H中，如果x，y满足（x，y)=0，就称x和y正交（或直交），记为x⊥y。当x⊥y时，成立勾股定理：||x+y||^2=||x||^2+||y||^2。如果x和H的子集M中任何元都正交，就称x和M正交，记为x⊥M。与M正交的所有元素的集合记为M寑。 希尔伯特空间理论中的一个基本定理。设M是希尔伯特空间H的凸闭子集，则对H中每个向量x，必存在M中惟一的y，使得||x-y||取到y在M中变化时的最小值。这个性质称为变分定理。特别，当M是H的闭线性子空间时，z=x-y必与M正交，即对于闭线性子空间M，分解x=y+z不仅惟一，而且z⊥y。这就是投影定理。其中，y称为x在M中的投影（分量）。因为x在M上的投影y是达到极小值的惟一解，所以这个结果不仅在理论研究中，而且在很多应用性科学，如近似理论（包括有限元方法）、预测理论、最优化等多方面均有着广泛的应用。 设{ek}是内积空间H中一族彼此不同的向量，如果其中任何两个向量都正交，即当k≠j时，（ek，ej)=0，则称{ek}是一正交系；如果其中每个向量的范数又都是1，即对一切k，（ek，ek)=1，则称{ek}是规范正交系。对于希尔伯特空间H的规范正交系{ek}，如果包含{ek}的最小闭子空间就是H，就称{ek}为H的完备规范正交系。设{ek}是规范正交系，则H中任一向量x在ek方向的投影，即x在{ek}生成的一维子空间上的投影，就是Σ（x，ek)ek；而x在{ek}生成的闭子空间M上的投影就是H。显然有||x||^2<=Σ|(x，ek)|^2，即向量x在某个子空间M上的分量“长度”永不超过x的长度，它称为贝塞尔不等式。如果{ek}是完备规范正交系，那么成立着 x=Σ(x，ek)ek（傅里叶展式）， ||x||^2=Σ|(x，ek)|^2（帕舍伐尔等式）。
聚合中文网 阅读好时光 www.juhezwn.com
小提示:漏章、缺章、错字过多试试导航栏右上角的源