详细的资料可以参考量子力学的数学描述相关的内容。量子力学中由平面波和束缚态所构成的希尔伯特空间，一般被称为装备希尔伯特空间（riggedHilbertspace）。

    在一个实向量空间或复向量空间H上的给定的内积

    可以导出一个范数。    如果其对于这个范数来说是完备的，此空间称为是一个希尔伯特空间。这里的完备性是指，任何一个柯西序列都收敛到此空间中的某个元素，即它们与某个元素的范数差的极限为0。任何一个希尔伯特空间都是巴拿赫空间，但是反之未必。    任何有限维内积空间（如欧几里德空间）都是希尔伯特空间。但从实际应用角度来看，无穷维的希尔伯特空间更有价值。    内积可以帮助人们从“几何的”观点来研究希尔伯特空间，并使用有限维空间中的几何语言来描述希尔伯特空间。在所有的无穷维拓扑向量空间中，希尔伯特空间性质最好，也最接近有限维空间的情形。    傅立叶分析的一个重要目的是将一个给定的函数表示成一族给定的基函数的和（可能是无穷和）。这个问题可以在希尔伯特空间中更抽象地描述为：任何一个希尔伯特空间都有一族标准正交基，而且每个希尔伯特空间中的元素都可以唯一地表示为这族基中的元素或其倍数的和。    无穷维的希尔伯特空间是n维欧几里得空间的推广，可视为“无限维的欧几里得空间”，是泛函分析的重要研究对象之一。在三维欧几里得空间中，任何两个向量之间规定了一个内积，它是建立三维欧几里得几何学的基础。有了内积，就有向量的长度、两个向量的交角和向量到直线或平面上的投影等等。这些普通而重要的几何概念及相应的研究方法，不仅被推广到n维空间，而且在许多不同的领域，例如积分方程、数学物理、三角级数或更一般的正交级数等理论中，被推广到由函数构成的无限维空间上去，成为研究有关问题的有力工具。    第一个具体的希尔伯特空间最早是由D.希尔伯特在研究积分方程时首先提出的。他在平方可积的无穷实数列{xn}全体所组成的空间l中规定了内积，把空间l看作欧几里得空间向无限维的推广，从而有效地解决了一类积分方程求解及其本征展开的问题。不久，人们就建立了一般的希尔伯特空间理论，到20世纪30年代已取得了丰富的成果。希尔伯特空间在分析数学的各个领域中有着深厚的根基，也是描述量子物理的基本工具之一，它已经被广泛地应用于数学和物理的各个分支，如积分方程、微分方程、过程、函数论、调和分析、数学物理及量子物理学等等。关于希尔伯特空间及其上的算子理论仍然是泛函分析的重要课题之一。    设H是实数域或复数域C上的线性空间，如果对于H中任何两个向量x和y都对应着一个数（x，y）∈C。

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