(3)求长度、面积、体积、与重心问题等
这些问题包括,求曲线的长度(如行星在已知时期移动的距离),曲线围成的面积,曲面围成的体积,物体的重心,一个相当大的物体(如行星)作用于另一物体上的引力。实际上,关于计算椭圆的长度的问题,就难住数学家们,以致有一段时期数学家们对这个问题的进一步工作失败了,直到下一世纪才得到新的结果。又如求面积问题,早在古希腊时期人们就用穷竭法求出了一些面积和体积,如求抛物线在区间上与轴和直线所围成的面积,他们就采用了穷竭法。当分割的份数越来越多时,所求得的结果就越来越接近所求的面积的精确值。但是,应用穷竭法,必须添上许多技艺,并且缺乏一般性,常常得不到数字解。当阿基米德的工作在欧洲闻名时,求长度、面积、体积和重心的兴趣复活了。穷竭法先是逐渐地被修改,后来由于微积分的创立而根本地修改了。
(4)求最大值和最小值问题(二次函数,属于微积分的一类)
例如炮弹在炮筒里射出,它运行的水平距离,即射程,依赖于炮筒对地面的倾斜角,即发射角。一个“实际”的问题是:求能够射出最大射程的发射角。十七世纪初期,Galileo断定(在真空中)发射角是时达到最大射程;他还得出炮弹从各个不同角度发射后所达到的不同的最大高度。研究行星的运动也涉及到最大值和最小值的问题。
人类对自然的认识永远不会止步,微积分这门学科在现代也一直在发展着。以下列举了几个例子,足以说明人类认识微积分的水平在不断深化。
在黎曼将柯西的积分含义扩展之后,勒贝格又引进了测度的概念,进一步将黎曼积分的含义扩展。例如著名的狄利克雷函数在黎曼积分下不可积,而在勒贝格积分下便可积。
前苏联著名数学大师谢尔盖·索伯列夫为了确定偏微分方程解的存在性和唯一性,建立了广义函数和广义导数的概念。这一概念的引入不仅赋予微分方程的解以新的含义,更重要的是,它使得泛函分析等数学工具得以应用到微分方程理论中,从而开辟了微分方程理论的新天地。
美籍华裔数学大师陈省身所研究的微分几何领域,便是利用微积分的理论来研究几何,这门学科对人类认识时间和空间的性质发挥着巨大的作用,并且这门学科至今仍然很活跃。前不久由俄罗斯数学家佩雷尔曼完成的庞加莱猜想便属于这一领域。
聚合中文网 阅读好时光 www.juhezwn.com
小提示:漏章、缺章、错字过多试试导航栏右上角的源