金字塔和圆周率

    古埃及建造的金字塔始终是人们神往而迷惑的地方。试想，在公元前五世纪这里就开始建造这样的庞然大物，就以胡夫大金字塔而言，它共有230万块巨石砌成，而每一块巨石平均为2．5吨重，大的巨石重达15吨。在茫茫的沙漠上，是用什么车辆来运输？是用什么工具来起吊？不要说别的，即使在当代，要建造这样一个金字塔，也并非轻而易举的事情。

    胡夫大金字塔尤其神秘。它的高度为481．4英尺（相当于146．73米），它的塔底每边长为756英尺（相当于230．4米），塔底是呈正方形。于是，当我们用大金字塔塔底的周长除以其高度的两倍，结果正好等于圆周率的近似值3．14。算式如下：

    33334×230.42×146.73=3.14

    这是多么难得的巧合！

    然而，它还有更多巧合地地方。比如，它的高度乘以27万倍，便近似于地球的周长；它的高度乘以10亿倍，正好等于地球到太阳之间的距离。于是2．7×105和109又体现宇宙中什么重要的规律呢？而金字塔的建造者们是认识了这种规律，还是不认识这种规律呢？

    至于由金字塔引申出的“大西洲”的故事，那更是不可揣测的谜了。因为金字塔的建造没有文字记载，仅仅在《圣经》的《旧约》里，讲到希伯莱人沦为奴隶而逃出埃及，他们曾为建造金字塔而服过劳役。但《圣经》又怎可相信。于是从公元前四世纪柏拉图的记载，在现在的大西洋中曾有一个海岛，是古代发达的大帝国，即大西洲。金字塔就是他们所建。但后来遇到极大的自然灾害，地震和洪水同时袭来，把大西洲给淹没了，也淹没了一度鼎盛的文明。

    有没有存在过“大西洲”？或许通过地理的勘测和地质年代的考古，会得出结论。但现在仍然是一个谜，或者连“谜”都不如，无人对它感兴趣。

    珠算溯源

    算盘可是中国的国宝，即使在今天进入电子计算机的时代，在商业和财会部门，由于应用大量的四则运算，算盘的运算速度仍然可以与电子计算机媲美。它的运算迅速、准确。

    算盘算盘能流传至今，主要是它设计的合理和巧妙。据说古罗马也有过算盘，那是十二进位制的，用起来不方便，慢慢就淘汰了。古俄罗斯的算盘用的是一档十个珠子的，也不受欢迎。可是中国的算盘方便灵巧，不但在国内通用，而且流传到日本、朝鲜和东南亚。尤其是日本的小算盘做得非常精巧，简直像一件玩具。

    算盘起源于哪个朝代？最早的一本珠算书是明万历年间程大位所著的《直指算法统宗》（大约是公元1592年）。那是一本很权威的书，风靡全国，凡学珠算的人都视若至宝，背诵其中的口诀，传诵书中有趣的算题。

    但是，程大位只是集过去珠算之大成，归纳出这部系统性很强的著作。在他之前，在1578年，柯尚迁所著《数学通轨》中已记载有13档的算盘图，形状跟现在的一样。与此同时，在1573年，徐心鲁所校订的《盘珠算法》已初步介绍了珠算的算法。由此推断，早在15世纪初叶，算盘已广泛地在社会生活中应用了。甚至在1366年陶宗仪的《南村辍耕录》中还形象地用“算盘珠”拨一拨动一动，不拨不动，来形容奴婢的惰性。如果算盘还不普及，是绝不会有这种比喻的。

    然而，“珠算”的名称却出现得更早。大约在公元2世纪，东汉徐岳所著的《数术记遗》中介绍了14种古代计算方法，其中13种是利用器具来算的，而这些器具中采用“珠子”的又有五种，这五种是：“太一算”、“两仪算”、“三才算”、“九宫算”和“珠算”。可见“珠算”的名称这时就有了。书中所介绍的算珠的结构，正是上面一颗相当于五个单位，下面四颗每颗相当于一个单位，完全具备了现代算盘的雏形。

    算盘为什么上面一颗与下面几颗不同，代表五个单位，这是怎么想出来的呢？原来，算盘又是由筹算演变来的。而筹算的数字形式有纵式和横式，比如以纵式为例。1、2、3、4都是竖着摆，可是一过5，5就用横的一根筹来表示了。这就对应着在算盘中凡是一过5以后，就用上面的一颗算珠来表示。这说明筹算的数学体系与珠算的数学体系是一脉相传的。算盘也可认为是算筹的发展。那样说来，珠算的渊源更早了。

    计算机溯源

    一般认为，计算机都是外国传进来的洋玩艺儿。不然的话，为什么还有算盘和计算机比试高低的故事呢！其实，那是一个误会，计算机的老祖宗应该是在中国。

    《易经》的“八卦”最早来源于《河图》和《洛书》。“八卦”就是用八种符号表示“坤、震、坎、兑、艮、离、巽、乾”八个卦，由八卦通过组合又可成为64卦。

    如图所示，八卦的符号分别用8种不同的形式表示，这实际上是八进制的一种变形。而八进制与二进制有很大关系，八进制是建立在二进制的基础上的。假如“坤、震、坎、兑、艮、离、巽、乾”分别表示“零、一、二、三、四、五、六、七”8个数，那么用二进制表示，每逢2进1，就应该是“000、001、010、011、100、101、110、111”。八卦采用的符号正是符合这种情况，用两根短横表示“0”，用一根长横表示“1”，那么“坤”就是000，“震”就是001，以此类推，“巽”就是110，“乾”就是111。

    电子计算机就是采用“通”和“不通”两种基本状态，转换到数学上就是二进制的原理。因此电子计算机要溯源的话，就应该追溯到《易经》的“八卦”，再往早追溯，那就是《河图》和《洛书》了。这种解答，恐怕外国人是不会很满意的。

    八卦与数学

    八卦是以阳爻（一）和阴爻（— —）为基础，构成“坤、震、坎、兑、艮、离、巽、乾”八卦。阴阳两爻又称为两仪，两仪生四象，四象生八卦。正如“画卦乘方图”所示：第二层两个“一”，生第三层中间的“二”；这个“二”加上左右两个“一”，变成“四”，称其为“四象”。第三层“一”和“二”生成第四层中间的“三”；两个“三”加上左右两个“一”，变成“八”，称其为八卦。以此类推。

    上面这个图正好说明：（a+b）2=a2+2ab+b2，其系数为1、2、1的排列；（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3，其系数为1、3、3、1的排列。以此类推，表示了（a+6）n展开以后系数的排列形式。由此说明，八卦与代数中的多项式展开有密切关系。

    如果我们把阳爻规定为正，阴爻规定为负，那么按照每一卦用三个爻来表示的特点，其正负排列就有（－，－，－），（－，－，＋）（－，＋，－），……等八种情况。

    这八个卦正好符合三维空间中笛卡尔坐标系的八个“卦限”，这“八个卦限”正好与“八卦”相吻合；同样的，在二维空间中笛卡尔坐标系分为四个“象限”，这“四个象限”也正好与“四象”相吻合。由此看来，八卦与几何的关系也是相当密切的。

    就现代数学中的“群论”而言，也有许多相同之处。根据八卦的性质，它具有阴阳反演变换的不变性，而且全部阴阳变换形成一个八阶对称群。这正好与“群论”一一对应。“群论”对现代科学的研究很有用处，如许多学科中都应用了矩阵的计算。

    综上所述，八卦之所以能预示着从古代数学到现代数学的一些基本原理，只能说明它的思维是正确的，符合自然界的内在规律。“万变不离其宗”，正说明我国古代劳动人民正是掌握了这个“宗”，因而它的“思想体系”经久不衰，而且与现代科学相合拍。然而，八卦的内在含义，八卦更新的启示，这些不是还有待于我们更好地去探索吗？

    八卦与天文

    人们或许听说过这样两个故事：

    天王文1776年，德国天文学家波德总结出一个经验公式，可以计算出行星到太阳的平均距离。由此推算出在距太阳19个天文单位附近应该有一颗新的行星。果然，不久以后，在1781年，英国天文学家赫歇耳发现了这颗新星，并命名为天王星。

    赫歇耳在发现天王星以后，对于天王星的运行轨道作了详细的研究，觉得实际观察到的轨道与运用力学原理和微积分的办法计算得到的轨道不相符合，由此预言：在天王星外面还可能有一颗新的行星。此后，经过了亚当斯、勒威耶等人运用微积分计算，精确地算出了新星的轨道数据。终于在1846年发现了海王星。运用同样的原理，1930年又发现了冥王星。

    这两个故事说明，运用大量数据形成的经验公式，或运用先进的数学工具微积分，可以预示出新的行星的存在。

    然而，有这么一个中国小伙子，居然运用中国古老的《易经》和“八卦”预测出太阳系第十颗行星。他就是50多年前在法国留学的中国留学生刘子华，他通过八卦图上太阳系各星体与卦位存在的对应关系，再根据已知的天文参数进行计算，证明了每一对偶卦所属的星体的平均轨道速度和密度都是一个不变的常数。从而预测到必定有一颗新的行星，其平均轨道速度为2公里／秒，密度为0．424克／厘米3，而离太阳的平均距离为49．5天文单位（合74亿公里）。1940年11月18日，他的博士论文《八卦宇宙论与现代天文——一颗新星球的预测》在巴黎通过答辩，刘子华被授予法国国家博士学位。这颗星被命名为“木王星”。

    诺贝尔奖金获得者、著名华裔物理学家李政道博士曾谆谆教诲中国的青少年要知道《易经》和“八卦”，并说：“《易经》是中国古代重要的科学著作。”这说明《易经》和“八卦”将有助于我们去进一步探索宇宙。

    “化圆为方”行不行

    这是三大几何难题之一。它的意思是：利用圆规和直尺把一个已知圆变成一个等面积的正方形。这就好比是食品厂原来制作圆形的生日蛋糕，现在为了节约包装盒并且运输方便，改成方形蛋糕，但是蛋糕的分量一点不少，如何用纯几何的方法求方蛋糕的边长？

    据说，这个问题是古希腊的学者安拉克萨哥拉（约公元前五世纪）在监狱中冥思苦想的问题。

    看起来是很简单的问题，这也就使许许多多的数学爱好者跃跃欲试，企盼着解此难题而一鸣惊人。

    世上不乏高手，就有这么一位学者提出了一种解答方法，是这样的：

    在已知O圆上，过圆心O作一个与直径AB成30°的角，交OB的切线MN于C点。这是可以通过圆规、直尺实现的。然后，以C为端点，用圆规截圆半径的长度，截3次，使CD=3r，其中r为O圆的半径。这时根据勾股定理，可求得AD的长度为：

    AD=40-633r≈πr

    接下来，在AD的延长线上截DG=r，再以AG为直径作一半圆。由D点作AG的垂线DH．交半圆的圆周于H这时可以求得DH2=AD·DG=πr·r=πr2，所以DH=πr。由此用DH作为正方形的边长，正方形的面积正好为πr2，等于已知圆的面积。

    看来，“化圆为方”的问题已经解决了。但是，细细推敲，毛病出在AD的长度是不是等于πr，实际上AD的长度所求出的π是近似值，单凭这一点，就没有符合原题的要求。尽管这种近似作图在现实生活中还有实用价值，甚至生日蛋糕也可用这种办法来变换。但是从理论上、从严密的逻辑推理上仍然没有解决。这是为什么？主要是圆的面积与π有关，而π是一个超越数，无法用代数或几何的方法求得。也许等到超越数被我们更了解的时候，这个问题会有新的进展。

    “立方倍积”会不会

    三大几何难题的第二个问题就是“立方倍积”问题。它要求作一个立方体，使它的体积等于已知立方体体积的2倍，当然也只是限于用圆规、直尺来作图。

    人们往往有一种推理的思维方法。比如，一个正方形，以它的对角线为边作一个新的正方形，这个正方形的面积为原来正方形面积的两倍，也就是说“平方倍积”问题是很容易解答的。

    是否可以作一推广，立方体的对角线作为边长，作一个新的立方体，其体积为原来的2倍呢？我们知道，根据两次勾股定理的应用，可求得立方体的对角线长度为a，如果以3a作边长得到的立方体，其体积为（3）3a3，并不等于原立方体的2倍，而是等于（3）3。倍。因此这种推论是错误的。

    这个问题延续了2000多年，不少人兴致勃勃地去钻研，但灰心丧气地而告终，这已经证明是无法实现的。

    与此有关联的问题是：勾股定理仅仅是在平方关系上成立，也就是对于面积而言形成一种非常巧妙的规律。但是勾股定理并不能扩展到3维（或3次幂）关系上去，因此，解决体积之间的关系就比较困难了。

    同样的道理，我们在以后还要讲到“费马定理”，它指出：当n>2时，不存在正整数x、y、z，使满足关系式xn+yn=zn。例如我们设n=3，也就是x3+y3=z3，是不可能有三个正整数x、y、z的。由这个结论我们可以知道：不但要把一个立方体的体积加大一倍是非常困难，就是两个边长为正整数的立方体，也永远找不到一个边长也可用正整数表示的立方体，而它的体积为前两个立方体体积之和。

    “三等分角”能不能

    剩下第三个几何难题，就是“三等分角”的问题了。把一个角平分，或4等分都很容易做到，惟独把一个角三等分却很难。

    不知道有多少人绞尽脑汁、费尽精力企图三等分角，他们往往得意忘形地高呼：“我已解决三等分角的难题了。”可是他们的解答都经不起仔细的推敲。不信？这里就举两个例子：

    例一是要三等分一个已知角∠MON。我们以O为圆心，以任意长度a为半径作一个半圆。交角的两边为A、B两点，此半圆的直径在NO的延长线上。取一把直尺为CD（并无刻度），用圆规将a长在直尺上截取CE=a。用该直尺在刚才画好的半圆上比划，使c点保持在NO的延长线上，E点保持在圆周上，使直尺的某一点通过A点，这时直尺CD的位置就已经确定了，过。作CD的平行线，使OF∥CD，那么AFOB三等分∠AOB，即∠FOB=13∠MON。

    证明是很简单的：因为EC=OE，所以∠1=∠2；OE与OA均为半径，所以∠3=∠4；∠3是△CEO的外角，所以∠3=∠1+∠2=2∠1；由于OF∥CD，∠5=∠4，∠1=∠6，所以∠5=2∠6，由此证明了∠FOB三等分∠MON。

    例二是取一个直角尺BCF，然后以DC的延长线为直径的位置，以CD长为半径，作一个半圆，其圆心为B。如果我们要三等分一个角∠MON，可以使角的顶点O在CF上移动，角的一边OM与半圆相切，角的另一边ON通过D点，假设OM与半圆相切于E点。那么∠COD为三等分∠MON。

    证明同样是很简单：由于OE和OC均为切线，所以△OEB≌△OCB，故∠1=∠2；由于BC=CD，△OBD为等腰三角形，OC为高，所以∠2=∠3，于是∠COD=13∠MON。

    这两种解答都是不严格的。例一中预先在直尺上记了一点E，使直尺实际上具备了刻度的功能。例二中用直角尺一边CD为基准，也是无形中违反儿何作图中直尺的规定。因此，看上去像是解决了这个难题，实际上依然没有解决。三大几何难题经过许多数学家的努力，终于在1895年，德国数学家克莱因已经证明了是无法用圆规和直尺来完成的，因此后人也不必再去白费精力了。

    猜了一个多世纪的“四色问题”

    这个问题最早是1852年英国人古斯里提出的。在考虑给地图上色的时候，人们总希望把不同的国家染上不同的颜色。这样容易辨认每个国家的位置和边界。但是人们又不可能用200多种颜色来表示目前全世界200个左右的国家和地区。从直观上，人们知道只要相邻的国家不用同一种颜色就可以，至于较远的国家颜色允许重复。这样就大大节约了颜色的种类。可是到底最少能省到几种颜色呢？有的说五种，有的说四种。经过许多人的实践，认为四种颜色可以应付了。比如，我们举一个现实的例子，把我们的视觉范围缩小到北非地区。如果选中利比亚作为开始，它用颜色a，那么它相邻的埃及、苏丹、乍得、尼日尔、阿尔及利亚和突尼斯，以及地中海，都不能再用颜色a，但是根据不相邻国家或地区允许颜色重复使用，最后，埃及、乍得、阿尔及利亚用颜色b，苏丹、尼日尔和地中海用颜色c，但是作为突尼斯却不得不用第四种颜色d。由此四种颜色也够用了。

    许多例子也都表明四种颜色够用了，于是人们猜想：在一个平面或球面上的任何地图只需要四种颜色。

    “猜想”并不能包容所有的情况，只要有一个例外，就可以推翻“猜想”。所以必须有严格的数学证明，“猜想”才能上升为“定理”。

    1879年，肯普用“反证法”来证明。他先假设一幅地图至少要用五种颜色，然后证明这样是与假设矛盾的，从而证明了只需四种颜色。

    他的证明必须是对于“正规地图”而言的，也就是说：任何一个国家都是单连通，不能分割为两个不相连的地区，像美国本土和它的阿拉斯加分割两处就不行；任何一个国家也不能包围另一个国家或地区，如意大利和梵蒂冈就是一个特例；另外，不能有三个以上的国家相交于同一点。埃及、以色列、约旦和沙特阿拉伯都相交于亚喀巴港口，那也认为是一种特殊情况。

    肯普用图论的知识，虽然作了证明，但是由于遗漏了一个重要的步骤，而这个步骤的计算量又十分庞大，因而“四色问题”仍然没有得到最终的证明。

    直到1976年6月，美国的阿贝尔和哈肯，他们沿着肯普的思路，利用了现代的电子计算机，编制了一个严密的计算程序，对2000个不同构形进行计算，整整花费1200多个小时，终于证明了“四色定理”。从此，一个猜了一个多世纪的谜终于解开了。由此也说明，随着电子计算机的发展，许多“数学难题”并不是“一锤定音”永远不能解的。

    古老的“三所学校”的问题

    说它古老，是因为在爷爷童年的时候就提出了这个问题，但似乎是没法解决的问题。

    内容是这样的：有三个村庄，有三所学校，要从每一个村庄修三条路直接通向学校，使这9条路互不相交。我们可以试一试，只能画出8条路不交叉，第9条路是非交叉不可了。

    当时是无法解决的，不像现在，城市中建起了立交桥，可以保证互不相交，这第9条路是可以实现的。

    我们还可以用其他的办法来引申这个问题。假如三个村庄和三所学校是在一个环面上，那么这个问题是可以解的。实际上，将第8条路沿圆环的大周，第9条路从圆环的背面过来，于是就可以实现9条路互不交叉。

    同样，我们还可以在一个特别的表面上做这个题目。这个特别的表面是这样做成的，用一张纸条围成一圈，在对接前将其中一端翻转180度，然后粘上。这个圈称作墨比鸟斯圈，它的特点是没有正反面，从A点作一条与边线平行的线，转一圈后能到达C，而再转一圈又回到A。现在我们在墨比鸟斯圈上设定三个村庄D、E、F，再设定三所学校为A、B、C，那么，A—D—C—F—A成一闭环，中间经历4条路线互不干扰；BE相连又一条路线；B和E、F相连，E和A、C相连，又是4条路线。于是9条路线互不干扰和交叉，符合原题的要求。

    “三所学校”引出了那么多问题，与其说是解难题，不如说是“醉翁之意不在酒”，而是促进了数学的发展。

    自然数的奥妙

    从人类一开始从事劳动、与大自然搏斗，他们就懂得了在石壁上刻痕，用绳结来计数。以此来计算捕获到的猎物或一年收获的粮食。人类最早接触到的就是自然数。

    随着生产的发展，需要对劳动进行组合，也遇到分配的问题。这样，人们对自然数又有了新的了解，把自然数分为奇数和偶数两大类。如果分配两个人抬一筐土。那么必须是偶数才行；如果除了部落首领一个负责指挥可以不干活以外，其他两人一组，那么总共人数必为奇数。实际上，偶数即是“2的倍数”的另一种说法。

    既然有“2的倍数”之说，那么也就有“3的倍数”、“5的倍数”、“7的倍数”等等，以此类推。这样，自然数中除去可以用倍数表示的数以外。剩下的就是无法用另一个数的倍数来表示的数，确切地说，即它除了能被1和它本身整除以外，不能被任何其他数整除。这些数可以说是组成自然数最基本的要素。我们称之为“素数”。

    素数的性质与奇数或偶数的性质完全不同。奇数如果由小到大排成一个数列。它的项数若为n，可以很容易计算出它的通项公式an和求和公式sn，如：

    1，3，5，7，……an（n=1，2，……）

    an=2n－1

    Sn=n2

    对于偶数排成的数列，也可以计算出它的通项公式an和求和公式Sn，如：

    2，4，6，8，……an（n=1，2，……）

    an=2n

    S=n（n+1）

    可是，如果把素数排成一个数列以后，如同：

    2，3，5，7，11，13，17，……

    我们就无法求出它的通项公式和求和公式。

    照理说，素数除2以外，它寄生在奇数的数列之中，应该能从奇数的规律中得到启发，可是实际上要复杂得多。

    埃拉托斯尼筛子有多大

    由于素数没有规律，所以人们只好用笨办法去数，这种笨办法在公元前二世纪就开始采用了。当时的古希腊哲学家兼数学家埃拉托斯尼就是用的这种办法。

    他把从1至100的一百个自然数排成10×10的方阵，然后根据素数的性质：它除去1和其本身不能被任何其他数整除，所以只要在表中相继除去2的倍数、3的倍数、5的倍数、7的倍数……等等。显然，这如同用2号筛子、3号筛子、5号筛子等等一次一次过筛，所有合数都给筛走了，剩下的当然是素数了。

    由于这种办法，如同过“筛子”一样，所以历史上称之为“埃拉托斯尼筛法”。

    这种办法能很迅速地筛去许多合数，如4、6、8、10四列数全部筛去，2、5两列从12、15开始也全部筛去。可以推断，假如这个表往下延伸，使总的自然数达1000，10000或更大，那么这儿列延伸下去也可全部筛去。由此说明，素数只是在1、3、7、9儿列中存在，如果把方形中11的倍数除去，再把圆圈部分的数除去，剩下的就是1-100之间的所有素数。

    这种筛选法虽然说是个笨办法，但笨中有巧。比如，我们用5去筛的话，它的倍数应该有10、15、20、25、30……等等，但是由于10、15、20三个数已经被2和3的筛子筛去了，已不复存在，所以只需要从25开始过筛。这说明，用5去筛，只需从52开始进行。同样，用n去筛，只需从n2以后的数开始进行。这样就大大简化了工作量。

    这个笨办法肯定能使我们找到所有的素数，但肯定又找不完所有的素数。因为人的生命是有限的，即使采用电子计算机，计算速度可以加快，但也是有限的。所以，埃拉托斯尼筛法虽然可行，但这个筛子该多大，实在是无法说清。

    最大的素数

    既然按照埃拉托斯尼的筛法可以把筛子作得无穷大，那也就是说明素数的个数是无穷无尽的。那么有没有可能随着素因子的越来越多，最后素数的密度越来越小，也就是素数在自然数中越来越稀少，最后出现一个最大的素数，成为空前绝后呢！

    这个问题当然是个难题，但是这个难题已经证明了。占希腊的数学家欧几里得用了“反证法”证明了这个难题。他假设素数是有限的，而且存在一个最大的素数N，那么必然可以找到另外一个数M，这个M是用所有素数直到最大素数N之间的乘积再加上1，也就是表示为：

    M=（2×3×5×7×…×N）+1

    自然，M要比N大得多。然而M被2、3、5、7……直至N来除的话，都无法除尽，都会余1。所以M仍然是一个素数。由此证明N并不是最大素数，这就与假设所矛盾，从而证明了素数是无限的，最大的素数不存在。

    与这种思路类似，我国至少从四世纪开始，已形成了“中国余数定理”，比如“大衍求一术”、“鬼谷算”、“韩信点兵”等等，它们发展了余数为1的情况，从而可以去解各种各样的不定方程。我们举一个简单的例子，如果一队士兵，排成3路纵队，最后一行余1人；如果排成5路纵队，最后一行还余1人；如果改为7路纵队，最后一行仍是余1人。那么，其计算为：

    X=（3×5×7）+1=106人

    总共士兵为106人，这是最小的一个解。假如最后一行余2人或多人，按照“中国余数定理”。也是能够算出来的。

    爱因斯坦也举过一个例子。他说：在你面前有一条长长的阶梯。如果每步跨2阶，那么最后剩下1阶；如果每步跨3阶，那么最后剩下2阶；如果每步跨5阶，那么最后剩下4阶；如果每步跨6阶，那么最后剩下5阶；如果每步跨7阶，正好走完。问阶梯至少有多少阶？

    解答这个问题可以由2、3、5、6的最小公倍数30开始，对30、50、90、120分别减去1，满足前四个条件，即29、59、89、119分别被2、3、5、6除以后得到上述的余数。然后它又应被7整除，所以惟独119是正确答案。

    从上述的变迁可以看出：最大的素数并不存在。但是在证明这个结论的过程中，使人们又获得了新的知识，对于求解不定方程感到茅塞顿开、迎刃而解了。

    “1+2”等于什么

    在小学算术中，1+2等于3，这是指同样的东西而言的。

    在实际生活中，1+2很难说等于什么。一个馒头加两碗稀粥，等于一顿早餐；一个小孩加上他的父母两个大人，组成一个家庭；一个仆人加上两个主人，等于一出名剧；一个国家加上两种制度，又是一种政策。

    不管怎么说，上述的解释还是可以理解的。使人不可理解的是在“数论”中，还要对“1+2”来证明，而且一代一代数学家前仆后继为的是去攻克这个堡垒。

    原来，在“数论”中，“1+2”的含义已经完全变了。它是表示：一个充分大的偶数，可以表示为一个素数与另一个由不超过两个素数乘积之和。举两个例子来看：

    22=7+3×5

    76=37+13×3

    其中22和76都是偶数，它们都可以由两部分组成，第一部分是一个素数，第二部分是两个素数的乘积。问题就是要用严密的数学方法来证明这个规律是在一切情况下都适合的。

    为了证明：偶数=（1+2），难度是相当大的。在证明这个问题之前，实际上做了许许多多的准备工作。这些准备工作包括：

    1920年挪威数学家布朗证明了：

    偶数=（9+9）

    也就是说，每一个充分大的偶数可表示为两部分之和，这两部分都是由不超过9个素因子的乘积。

    随后，工作一步一步深入：

    1924年拉德马哈尔证明了（7+7）；

    1932年爱斯斯尔曼证明了（6+6）：

    1938年布赫斯塔勃证明了（5+5）；

    1940年布赫斯塔勃证明了（4+4）；

    1950年维诺格拉多夫证明了（3+3）；

    1958年王元证明了（2+3）；

    1962年潘承洞证明了（1+5）：

    1962年王元和潘承洞证明了（1+4）：

    1965年布赫斯塔勃等人证明了（1+3）。

    到此为止，每迈一步就格外艰难。终于在1973年我国数学家陈景润证明了：偶数=（1+2）。这是在数论研究中一个辉煌的成就。

    偶数：（1+2）是证明了，然而偶数=（1+1）又是天外有天、高不可攀，谁来夺取这个桂冠呢？

    π之谜

    无论是古代的希腊和埃及，还是在古代的中国，人们早就对π有所认识，并且用各种方法去求得它的数值。这一点是并不奇怪的，因为人类最初的数学工具就是“规”和“矩”，最初接触的图形就是方和圆。而随着人类对自然的了解，发现地球是圆的，天体运动也是椭圆的轨道，而这些无不与π有联系。

    在我国，早在公元3世纪，刘徽注的《九章算术》中，就采用“割圆术”求得π=3．1416。到了公元6世纪，祖冲之在《缀术》中，对π作了极为精确的计算，他求得π=3．1415926，精确到小数点后7位。以后这个纪录在不断刷新：

    1610年，卢道夫，精确到小数点后35位；

    1844年，达瑟，精确到小数点后200位；

    1949年，马里兰德，精确到小数点后2037位；

    1967年，纪劳德和狄山姆，计算到50万位；

    1987年，美国数学家计算到2936万位。

    除了具体计算π值到多少万位，π也可用一些公式来表示，比如：

    约率：π=3+17=227≈3.14

    密率：π=3+17+115+1

    =3551133．1415926

    而更一般的公式可以写为

    π=3+17+115+11+1292+11+……

    实际上，近代以级数来求π有很多公式：1671年，格里高利，π4=arctg1

    1706年，马丁，π4=4arctg15-arctg1239

    1794年，勒让德，π4=4arctg15-arctg170+arctg199

    1863年，高斯，π4=12arctg118+8arctg157-arctg1239

    1896年，斯图莫，π4=6arctg18+2arctg157+arctg1239

    人们对于π的认识。逐渐由计算其精确值，转向对π的本身的了解，试图弄清它在数学和物理上的性质。

    比如：1794年勒让德证明了π是无理数，1882年林德曼进一步证明π是一个超越数。

    又如：人们在探讨，为什么利用蒙特卡罗方法，对缝衣针在纸上任意抛掷，当抛针次数成千上万次以后，它的统计值正好是π值？

    至于，π在物理中的含义更是令人深思了；

    在力学中，

    单摆的振动周期为：T=2π1g

    复摆的振动周期为：T=2π1mgh

    在分子物理学中，

    分子平均自由程：λ=2πkT2πdp

    在电学中，

    库仑定律，静电力：f=14πε·q1q2r2

    在量子力学中，

    普朗克公式，绝对黑体辐出度：

    MBλ=2πhc2λ-51ehckλT-1

    因此，对于π的研究将成为数学、物理的研究中一个永恒的课题。

    e之谜

    对于有一般数学知识的人来讲，e并不是太陌生的。在对数运算中主要是两种对数：一种是以10为底的对数log10N，一般简单地记作lgN；另一种是以e为底的对数logeN，也可简单地记为InN。

    然而，人们是如何发现e的呢？e给我们带来什么好处呢？e又是谁命名的呢？

    原来，在1614年英国数学家纳皮尔造出了世界上第一张对数表。这在数学史上是一个伟大的创举，它与笛卡尔的坐标系和牛顿的微积分被誉为17世纪数学上的一大发明。

    对数的发明是将乘方或开方的运算转化为乘法或除法的运算，而对于乘法或除法的运算义可转化为加法或减法的运算。因此是数学运算中的一种革新。

    但是，对数的底数取多少是很有学问的。以10为底当然省事，但计算却很困难，比如对于lgN=0．02，那么真数，N=100.02=（102）1100=100100≈1．047，这显然是比较麻烦的。如果我们取底数为α=（1．01）100，这时如果logαN=0．02，那么其真数N=〔（1．01）100〕0.02=（1．01）2≈1．02，以此类推，对于logαN=0.03对应有N≈1．03，对于logαN=0．04对应有N≈1．04等等。这样就方便多了。

    上述底数的形式可归纳为an（1+1n）n，对于上例n=100，如果n取得越大，结果将会越好。因此纳皮尔第一张对数表取的底数为：

    α=（1+11000000）1000000

    1727年欧拉用二项式定理证明αn是单调递增，并且对于n∞时，存在极限，并用他名字的第一字母命名为这个极限值：

    e=limn∞（1+1n）n

    这就是自然对数的底数，它可以由以下的级数来求得：

    e=2+12！+13！+14！+…+1n！+…

    计算可得：e=2．718281828459045……

    e对于对数来讲，确实是最为理想的底数了。不但如此，许多自然规律也都与e有关。比如：声学中平面波强度衰减的规律是，I=IOe-2ax；大气压力P和高度h的关系是Pn=pOe-lh；电容器放电时的电压V与时间t的关系是Vt=VOe-tRC；双金属产生的温差电动势也与自然对数有关：ε=K（T1-T2）qlnnAnB；一个螺旋管的自感系数为L=μαN2h2πlnbα；放射性元素的衰变定律为N=NO-λt等等。即使是日常生活中连续利率的计算都会用到e，也就是说，如果银行的年利率为100％，其利息是每时每刻都在计算利息，而这个利息义立刻累加到本金中产生新的利息，那么当你存入1元，一年后可以得到的钱正好是e=2．718元。另外，数学家已经证明，e也是一个超越数。

    由此可见，e反映了自然界中一种普遍的规律，它有助于我们去进一步探索自然的奥秘，去发现新的物理定律。反过来，在更深刻了解大自然的同时，也必将对e的含义和本质会有新的理解。

    神秘的“勾股定理”

    由直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，归纳出“勾股定理”的一般方程：

    x2+y2=z2实际上，如果x、y、z是非零正整数的话，上述方程变成一个求非零正整数解的不定方程。

    通常满足上述不定方程的非零正整数解称为勾股数组，比如（3，4，5），（7．24，25），（14，48，50）等等，都是勾股数组。

    如何来寻求这些勾股数组？古今中外的数学家们各显神通，已经提出许多种表达式：

    毕达哥拉斯法则为：

    x=n，y=12（n2-1），z=12（n2+1）（其中n为正奇数）

    柏拉图法则为：

    x=m，y=14（m2-1），z=14（m2+1）（其中m为正偶数）

    欧几里得法则为：

    x=mn，y=12（m-n），z=12（m+n）（其中m，n同奇偶，并且mn为完全平方数）

    丢番都法则为：

    x=m+2mn，y=n+2mn，z=m+n+2mn（其中2mn为完全平方数）

    但是最为简便的法则是我国清朝的数学家罗士琳提出的法则：

    只要取m、n为任意的正整数，并且m>n，那么按下面法则

    x=m2-n2

    y=2mn

    z=m2+n2

    构成的x、y、z必然是勾股数组，满足x2+y2=z2。

    尽管各种法则都可以找到一定数量的勾股数组，但是都不能找到全部的勾股数组。以罗士琳法则来讲，（9，12，15）这组勾股数就无法体现。因为，如果x=9，y=12，z=15时，求不到相应的m，n。

    为此，能不能有更通用的法则，使x2+y2=z2求得全部x，y，z的非零正整数解？由此看来，人们对于“勾股定理”的神秘，还需进一步的探索。

    苹果落地的传说

    关于牛顿看到一只熟透的苹果从树上落下来掉在地上，从而使牛顿联想到万有引力的故事，恐怕已流传了三百多年了。每每听到这个故事，人们不禁要扪心自问：原来这么简单，我怎么没有发现呢？

    牛顿正是如此，如果一个物理规律仅仅从一只苹果落地就被发现了，那么大自然早就失去她的魅力了。实际上，“牛顿看到苹果落地……”这只能说是一个美好的传说。

    牛顿发现万有引力定律并不是孤立的。在牛顿之前，伽利略在1609年发现了自由落体定律，他通过实验证明了所有物体在真空里的下落速度一样快，并且证明了自由落体是匀加速运动。此后，开普勒研究了行星的运动规律，他在1619年之前先后提出了开普勒第一、第二和第三定律。其中尤以开普勒第三定律为最著名，它是说：任何两个行星公转周期的平方同轨道半径的立方成正比。牛顿的功绩仅仅是把伽利略的自由落体定律和开普勒的行星定律，用他的万有引力定律统一了起来。

    正是从1665年开始，牛顿着手在考虑如何把伽利略和丹普勒的定律联系起来。也正是这个时候，英国流行瘟疫。剑桥大学的学生都回家了。牛顿也回到了他的故乡乌尔斯托普。在家乡，他很自然地选取苹果落地作为自由落体运动的最直观的例子，他也很自然地想到苹果如果从更高的地方，甚至高到月球的位置是否也会掉下来？但是为什么月球并不掉到地上，却偏偏绕地球公转呢？于是归结为月球的运动是由两部分组成，即匀速直线惯性运动和朝地球方向的落体运动。正如水平抛掷一块石头一样，由于这两种运动的合成形成一个抛物线的轨迹，当水平速度达到一定的数值后，石块就可能绕地球作圆周运动。

    这段轶事是牛顿同时代的传大作家伏尔泰在与牛顿的侄女交谈时了解到的。伏尔泰非常钦佩牛顿的天才，并积极宣传牛顿的科学原理。他作为作家和诗人的灵感，很及时地捕捉到最形象的描述，把“苹果”升华到一个新的境界，使人们留下难以磨灭的印象。正如在圣经中，我们也曾经让苹果的故事铭刻在心灵上一样，谁也不会忘记：亚当就是因为偷吃了苹果而触犯了上帝的意志。

    一场有趣的辩论

    俗话说：“事实胜于雄辩”，这话有一定的道理，但也存在着一定的片面性。尤其在物理学中，实验的验证与对规律的阐述，这两者是相辅相成的。况且有些物理规律通过实验有一定的困难，那就不得不借助于数学上的严密证明。比如对于天体的运动或者宇宙的年龄，作为人类有限的生命而言，很难用实验来证实。

    伽利略不仅仅是物理学的先驱，而且也是一位雄辩家。在讨论自由落体运动这个问题时。就曾经有过一段精彩的对话。这段对话是伽利略在1638年发表的著作《关于两种薪科学的对话和数学证明》中摘录下来的。有两个威尼斯的贵族，一个名叫沙凯多，另一个名叫萨瓦蒂，与另外一个亚里士多德的门徒叫辛佩乔进行辩论。其中萨瓦蒂就是伽利略本人的影射。

    萨瓦蒂：辛佩乔先生，请你告诉我：你是不是承认任何下落的物体都具备它的自然速率？

    辛佩乔：是的，自然界赋予重的物体下落的速率大，轻的物体下落的速率小。

    萨瓦蒂：好，如果我们把两个自然速率不同的物体连结在一起，那么速率慢的物体会阻碍速率快的物体，速率快的物体会拉着速率慢的物体。你同意吗？

    辛佩乔：我看这个结论是完全正确的。

    萨瓦蒂：如果这点是正确的，我们再进一步假设：一块大石头下落速率为8，一块小石头下落速率为4。那么，当两块石头连结在一起以后，它们合起来的速率一定大于4而小于8。

    辛佩乔：这是自然的。

    萨瓦蒂：但是这还没有说完。由于两块石头连结在一起以后必然要比大石块重，它们结合以后的下落速率也必然比大石块的速率要大，也就是合起来的速率应该大于8才对。你同意吗？

    辛佩乔：我完全被弄糊涂了。

    是的，亚里士多德的得意门生被弄糊涂了，因为伽利略从“重物比轻物下落得快”的假设出发，却得出了“重物比轻物下落得慢”的结论。也就是“以子之矛还子之盾”，因而使对方陷于自身的矛盾之中而无法招架。

    这里的毛病主要出在前提有矛盾，一个前提是：重物下落得快；另一个前提是：重物受到阻碍会下落减慢。如果我们用数学表达式来看，就更清楚了：

    大石块质量为M，速度为V1。小石块质量为m，速度为V2，那么根据第一个前提，两石块连结在一起质量为M+m，速度为V3，则有：

    M+m>M>m

    V3>V1>V2

    但根据第二个前提，小石块对大石块有阻碍，所以结合后速度V。应介于原两个速度之间：

    V1>V3>V2

    于是出现了V3既大于V2，又小于V1最后只能否定原来的前提，从而通过反推，证明了任何物体下落的速度是一样的。

    万有引力之谜

    由“苹果落地的传说”，使牛顿的万有引力定律广为传播、家喻户晓。人们一边惊叹万有引力定律适用于整个宇宙而皆准，一边也把创立如此伟大定律的牛顿推崇为物理学界的泰斗。

    尽管人们把“牛顿——苹果——万有引力”联系在一起，但是作为牛顿最杰出的贡献并不是万有引力定律，而是牛顿三定律。牛顿三定律揭示了力和运动的规律，它是经典力学的三根支柱。而万有引力定律只能说是牛顿三定律的一个补充，对于人世间力的产生作了一个注解。

    实际上，牛顿对于自己所发现的万有引力定律，一直是抱着非常小心谨慎的态度。当牛顿利用万有引力的公式来计算地球的引力和太阳的引力时，他把计算结果在抽屉里搁置了整整15年而没有公开发表。原因是地球和太阳都是由很小的质点组成起来的球体，为什么这些小质点产生的引力，在宏观上可以看作为质量集中在质心所产生的引力呢？这两者是如何等价呢？要解释这个问题，必须用到三重积分。可是当时连微积分还不懂得。直到15年之后牛顿创立了微积分，他用三重积分圆满地解释了这个问题，他才将计算结果公诸于世。牛顿的万有引力定律才重见天日。

    然而，万有引力定律本身还孕育着许多令人费解的问题，对于这点，连牛顿本人也不得不承认。比如，两个物体不管相距多远，都会产生万有引力。这个万有引力从一处传到另一处，居然不用花费时间。那么这种力是靠什么传递的呢？假如有的话，这个传递者一定要比光速不在以下，那么除了光子以外还会是什么呢？

    另外，万有引力为什么与质量成正比？质量这个属性为什么会产生引力，而不产生斥力呢？整个字宙是对立统一的，如果只存在万有引力，而不存在“万有斥力”的话，宇宙终究会因吸引而坍缩下来，这怎么可能呢？

    再有，万有引力为什么与距离的平方成反比？大家知道，光的辐照是与距离的平方成反比的，那是因为辐照出去的球面与半径的平方成正比，而单位面积上的辐照度自然与半径的平方成反比了。难道万有引力也是一种向外辐射的引力场吗？还有，为什么在宇宙中引力常数是恒定的？这个常数到底是宇宙中哪些基本因素决定的呢？

    就是诸如此类的疑点，牛顿试图去解释，但终未如愿。因此，牛顿很谦虚地说：“到现在为止，我只是根据万有引力来说明天体现象和海潮现象。但是至今我还不能从这些现象中得出引力的根源。这些根源还是让别人去发现它吧！”牛顿最后说了一句颇具哲理的名言：“如果说我比别人看得更远些，那是因为我站在巨人肩上的缘故。”

    确实如此，爱因斯坦是站在牛顿的肩膀上，而我们又是站在爱因斯坦的肩膀上，科学就是靠这种人梯而不断进步的。

    重力加速度之谜

    不知你有没有做过这样的试验：假如你在北京用磅秤称体重为60公斤，那么你带着这个磅秤到广州再称一次体重，你会发现轻了80克重。这是因为尽管你的质量是固定不变的，但是广州和北京的重力加速度不同，广州是9．788米／秒2，北京是9．80米／秒，你在两地受到的重力也就不一样大了。同时，由于用了同一个磅秤、它的弹簧秤的零点并没有改变，所以弹簧力可以客观反映重力的大小，于是重力的差别就反映了出来。

    从上述例子，我们知道，在地球不同纬度的地方，重力加速度是不一样大的。一般来说，纬度越小，重力加速度越小；纬度越大，重力加速度越大。赤道的重力加速度最小，为9．780米／秒。，而北极的重力加速度最大，为9．832米／秒2。

    重力加速度不但与地球的纬度有关，而且也与海拔高度有关。比如，在海平面的重力加速度与喜马拉雅山上的重力加速度是不同的，在高山上的重力加速度显然要小。

    地球上有地球重力加速度，月球上有月球的重力加速度，土星、木星也各有它们自己的重力加速度。甚至太阳还有太阳的重力加速度。

    那么，为什么重力加速度有如此千变万化呢？其实这点并不难理解。因为由万有引力的公式：

    F=GM·mr2

    其中G是引力常数，M代表地球（或其他星球）的质量，m代表物体的质量，r为这两者之间距离。显然重加速度g=GMr2，在这个表达式中，M随星球不同而异，r随纬度或海拔高度而变，于是形成了上述重力加速度的干变万化。

    然而，问题还要比这复杂得多，上述公式中一直认为G是一个常数。但是这点越来越被人们怀疑。有人根据宇宙大爆炸的理论，认为宇宙在不断膨胀，物质密度越来越稀，于是认为引力常数将越来越小。或者说，G随时间而变小。

    另一种理论认为引力常数G随距离而变化，尤其是美国科学家朗在1976年的工作，从多年测得的数据，归纳出一个经验公式：

    G=GO（1+0．002lnr）

    其中r为两个物体之间的距离。这意味着距离r越大，引力常数越大，或者说，万有引力在宏观尺寸上，尤其对于天体之间，显示着更为重要的作用。而对于粒子的微观世界，作用就小。

    正因为人们对重力加速度还不是完全了解，所以人们很难在地球上造成一个无重力环境，或者说实现一个在引力场屏蔽下的环境。即使在宇宙飞船或人造卫星的失重环境也绝非是绝对的无重力，仍然受到月球引力或太阳引力的摄动。

    摩擦力之谜

    在日常生活中我们所遇到的众多力中间，要数摩擦力最为复杂，它包括滑动摩擦、滚动摩擦、静摩擦、动摩擦等等。

    滑动摩擦应该是最简单的，它等于正压力乘上摩擦系数。这个滑动摩擦系数也是最为复杂的，它每两种材料接触会产生一个摩擦系数，所以滑动摩擦系数往往不是查表得到，而是根据实验数据给定。

    滚动摩擦相应就要复杂一些，就以轴承来说，就有许多型式，像滚珠轴承、滚子轴承、止推轴承等等，不同类型的轴承，它的滚动摩擦系数是不一样的。

    静摩擦和动摩擦也能相差很多，当推一个桌子时，桌子和地面产生静摩擦，它的摩擦力在逐渐增大，达到一定值时，桌子被推动了。但是一旦桌子被推动以后，它的动摩擦力就小得多，因此推起来就省劲得多。

    在实际生活中，这些摩擦力是混在一起的。需要区别对待，认真分析。比如，一列火车在出发前为什么要往后退一下？那是因为：如果列车不往后退一下，那么每节车厢之间都是紧紧拉着，整个一列火车如同一个整体（成一个刚体），那样要起动所要克服的静摩擦力将会是很大的。相反，列车倒退一下，各车厢之间松动了，这时只需要克服第一节车厢的静摩擦力，那就小得多，很容易拉动。等拉动以后，只需克服第二节车厢的静摩擦力。以此类推，拉动第三节、第四节……。这个例子就是利用静摩擦力的特点。

    另有一个例子，在自行车加速行进时，地面作用在前轮和后轮的摩擦力是不一样的。对于后轮，摩擦力是向前的。这样，后轮作为主动轮就有一个向前的趋势。相反，对于前轮，是从动轮，摩擦力是向后的。这个例子又很好地说明了对摩擦力要扬长避短。

    至于摩擦力的机理，那更是众说纷纭了，较早的论点是表面越粗糙，摩擦力越大；表面越光滑，摩擦力越小。但是后来发现这种论点并不正确，当两个接触表面非常光滑时，非但不是摩擦力减小，相反两个物体却粘住了。这种例子很多。比如，在制作光学器件时，往往把两块光学镜片直接接触而形成一个整体，在光学工艺上称作“光胶”，实际上没有使用任何胶，而是利用接触面本身的光洁。另一个例子是一种新的工艺，叫“摩擦焊”。当两种不同的材料，比如铝和不锈钢，由于材质不同、热膨胀系数不同，很难用钎焊或氩弧焊来焊接。这时可采用摩擦焊的方法，把两种材料通过摩擦使它们形成分子间的接触，从而由于分子的引力使两种材料紧密结合起来，等于牢牢地焊接了起来。

    总之，目前的看法是：两个物体如果表面光滑，可以减小它们之间的摩擦力。但是，当表面十分光滑时，两个表面的分子进入分子间的引力圈，那时摩擦力反而增加，从而牢牢地粘接起来。

    这种看法是否正确，还有待于实践进一步证实。随着对物质微观的探索，对于摩擦力的机理是否还会有新的启迪？

    宇宙有几种力

    纷纭的世界，可以说是充满着力的世界。人要挪动一下位置，肌肉要产生力，然后要克服空气阻力和地面的摩擦力。植物要生长，要克服地心的引力。鱼儿在水中游泳，受到重力、浮力和水流的阻力。总之，就我们感性所知道的力有：重力、弹力、压力、浮力、阻力、电力、磁力、摩擦力、爆炸力等等。

    这些力如何把它们归结为几种基本的力呢？从30年代起，随着粒子物理的发展。物理学家们认为：所有的力寻找它最终的源头，乃是亚核粒子交换其它的粒子。因此从交换粒子的不同，而对宇宙中的力作一归类，最终归为四大基本力。这四大基本力是：引力、电磁力、强力和弱力。

    引力发现最早，牛顿早在1665—1666年伦敦发生瘟疫期间，他在家乡躲灾的时候，就开始考虑万有引力的问题。他联想行星的运动和潮汐的涨落，希望用万有引力来统一这种认识。由于数学计算上还不成熟，直到1685年牛顿才将万有引力正确的表达式公诸于世。万有引力几经沧桑，即使到了普朗克的量子学说和爱因斯坦的相对论的建立，但在宏观上仍然没有否认万有引力定律的正确。

    电磁力包括电力和磁力。关于磁力，中国对其认识最早，指南针就是磁力的最早应用。静电力的研究要归功于库仑，库仑在1777年发明了一种用细金属丝制成的扭秤，以此来测定静电力。通过实验，他得出了静电力的公式为

    F=KQ1·Q2R2

    这个公式与万有引力的公式非常相似。把电与磁结合起来要归功于麦克斯韦，通过麦克斯韦方程客观地描述了电磁波的传播规律，同时也使人认识到光线也是电磁波的一种。进一步从现代物理学的观点看，两个带电粒子之间的电磁力是通过交换光子来传递的。

    强力是指原子核内部的核力。自从人们弄清原子核的内部结构以后，发现质子都带有正电荷，如果按照库仑定律，同性电之间应产生斥力，那么质子之间不能聚在一起，物质的原子就要随之崩溃。可是为什么原子核中的质子仍能紧密聚在一起，这就是原子内部的核力在起作用。从现在军事应用上的原子弹和氢弹，也都是核力的释放。从强力的机理来讲，它是通过交换π介子或胶子来传递的。

    最后一种是弱力，由于它不同于引力、电磁力那些宏观可见的力，它只存在于10-15厘米以内的范围，所以感知它比较困难。然而，在科学实验中发现中子衰变的过程是：

    中子质子+电子+中微子

    这个过程中，并没有光子参加，所以不是电磁力引起。同样，也不是引力引起的。因为粒子的质量太小，其引力不足以引起衰变。最后，核子间的强力是相吸引的，更不可能造成衰变。于是就命名为产生粒子衰变的力为“弱力”，这种弱力是通过中间玻色子W和Z来传递的。

    是不是还有新的自然力呢？除了这四种基本力之外，会不会还有第五种力、第六种力呢？

    宇宙第五种力之谜

    据1988年的法国《科学与未来》杂志报道，两年以前美国物理学家菲茨巴赫发现了宇宙第五种力，这种力称为“超电荷力”或“超负载力”。

    原来，早在1922年，匈牙利物理学家埃奥特沃斯做过一个著名的实验，他以当时很高的精度来验证牛顿的万有引力定律。根据万有引力定律，物体下落的重力加速度值是应该相同的，然而埃奥特沃斯发现测量的数据存在着1％的微小变化，这种误差无法解释。

    当然，在埃奥特沃斯的时代，人们尚不知道原子核是由重子（质子和中子）所组成。这时，菲茨巴赫重新分析了埃奥特沃斯的实验，认为由于不同物质和不同化学结构的物体，其重力加速度是不同的。因此造成实验中重力加速度偏小的原因就是这种微小的排斥力存在。这种力既然不是电磁力引起，所以称“超电荷力”。它又不是质量所引起的，所以又称“超负越力”。如果通俗点讲的话，这种力可以认为是“万有斥力”。

    为了说明第五种力容易被掩盖的事实，菲茨巴赫指出：由于物体的质量几乎等于其原子核中重子数的内容，所以难以分辨出重子数的影响，容易忽略这种斥力的存在。然而质量和重子数毕竟是有区别的。如果人们仅仅靠质子和中子来聚合一个原子核时，发现并不能得到预想的元素。这就是说，质量是有亏损的。这种亏损应该归结为质子和中子之间还存在着一种能量。按照爱因斯坦相对论，质量和能量是可以转换的。因此把埃奥特沃斯的测量结果归结为实验误差是不公正的，这必须与物理的本性联系起来，也就是要与第五种力联系起来。

    随后，美国实验物理学家蒂贝格做了这样一个实验：他制作一个空心铜球，使它的密度正好与水的密度一样。这样，它就可以自由沉浮在水中。把它放在靠近峭壁的水面附近，按照牛顿万有引力定律，水和铜应该同样被峭壁所吸引，球应该是静止不动的，然而，球却在移动，说明由于物性引起的斥力在起作用。

    关于第五种力，学术界正在论战。反对派说：实验误差可能是由于地球内部地质构造的非均质所造成的；也有的说：或许是太阳引力在起着微妙的影响。等等说法都有。就是主张第五种力的科学家们内部，看法也不一致，有的认为：第五种力与重子数（即质子数与中子数之和）成正比；另有人认为：第五种力决定于中子数与质子数的差。

    更为有意思的是，美国空军的一个实验基地，为了验证菲茨巴赫的第五种力，在600米的高塔上，每隔90米高度测量万有引力常数，结果表明：在较低的高度。即小于200米以内的距离，确实存在斥力，即在万有引力上要附加一个第五种力。可是在较高的高度时，发现除了第五种力以外，还伴随着一个新的引力，很可能是宇宙中第六种力。

    至此为止，不但向人们预示着第五种力之谜，又预示着是否还有第六种力、第七种力？

    物质有几态

    军队有“三军”，那就是“海、陆、空”；物质有“三态”，那就是“气、液、固”。这似乎已经成为人之常识了。可是，这回又要提醒你了，这种观念过时了。正像现代军队已经更加细化了，什么装甲兵、通讯兵、雷达兵、防化学兵、火箭兵、原子武器兵等等，物质的状态也更加细化了，据现在所知，物态就不下十几种。

    首先，“气、液、固”三态仍然是物质宏观下最明显的状态。就以水来讲，水仅仅是在0℃～100℃之间，如果低于0℃，水就变成固态的冰，而高于100℃，水又变成气态的水蒸汽。再以氢气来讲，常温下是气态，但当温度为-253℃时，变为液态氢，当温度再低到-259℃时，变为固态氢。

    但是，如果按其内部分子结构来细分的话，气态中还包含有等离子态。液态中还包含有超流态，固态中还包含有晶态、液晶态、玻璃态、超导态和金属氢态等等。

    等离子态是指气体温度升高到几千度或几万度以后，分子或原子失去电子成为带正电的离子，脱离原子核束缚的电子成为自由电子。这种电离气体就是等离子体。在自然界有天然的等离子层，它能保护我们地球上的生物不受宇宙中带电粒子的侵害。人们也可以制造人工等离子体，如等离子体切割、等离子体喷涂、等离子状态下的辉光放电等等。

    超流态是指在极低温下，在绝对温度4K以下，对于液态氦有一种特殊的性能，它的粘滞性完全消失，从而可以沿管壁或容器壁面向上流动以至流到外面，这就是奇特的超流态。

    至于晶态、液晶态和玻璃态是以原子的规则、对称、周期性的差异来区分的。晶态是指物质呈结晶形状出现的，每种结晶态物质都有固定的结晶结构，如水晶呈棱锥形，方解石呈平行六面体形，雪花呈六角形等等。有的物质永远没有结晶体，如玻璃、沥青，它的内部结构更像液体，称玻璃态。还有一些物质，主要是一些有机物质，介于液态和晶态之间，尤其具有晶体的光学性质，称液晶态。

    固态中比较特殊的是超导态和金属氢态。超导态是指有些金属存接近绝对零度时呈现电阻消失的状态。目前人们又开始制造高温超导材料，使一些人工制造的化合物在较高的温度下也能呈现超导现象。另外，金属氢态是氢气所固有的一种状态，当氢气在非常巨大的压力下，氢可以变成固态，而且这时的固态氢具有金属的特性。

    人们从宇宙中星球的观测中又发现一种质量很大、体积很小的恒星，叫自矮星，于是对物质有可能存在的状态又有所启迪。于是，人们认为，当物质在高温高压下，可以使原子核高度紧密地挤在一起，呈现出很大的密度，这时物质的状态称超固态。如果继续加高温度、加大压力，使原子核外部的电子挤进质子，使质子不带电荷，物质全部成为中子的状态，这时的物质又称为中子态。如果再加大压力，又会出现超子态、黑洞等等。

    相反，高密度物质的相反状态，低密度低到真空的状态，甚至认为真空是一种“负能量”粒子的空间，又形成了真空态。与此相关联的各种场，如电场、磁场、引力场，这也是物质的一种状态。

    自从粒子物理发展以来，人们知道大多数基本粒子都存在有电性相反或自旋相反的所谓反粒子，因此，由反粒子组成的物态将与上述正粒子形成的物态一一对应，这又是一大串的反物质态。

    由此说来，物质到底有几态呢？让我们再回顾一遍，就可以数出来了，它们是：气态、液态、固态、晶态、液晶态、玻璃态、等离子态、超导态、超流态、金属氢态、超固态、中子态、超子态、黑洞、真空、场、反物质态等等。

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