98765432÷8=？

    这是小学生能做的题目，结果是：

    98765432÷8=12345679

    稍加观察，便可发现这个式子还很有点“规律性”。被除数与商数都是八位数，各位数目字都得连续数，前者从大到小，后者从小到大。商数中1，2，3，4，5，6，7，9，单单少个8，而除数正好是8。

    这个“缺8数”有着有趣的性质，请看：

    12345679×9=111111111

    12345679×18=222222222

    12345679×27=333333333

    12345679×36=444444444

    12345679×45=555555555

    12345679×54=666666666

    12345679×63=777777777

    12345679×72=888888888

    12345679×81=999999999

    眼前这数字的海洋，波浪起伏，真是美不可言。对于一个观察和推理能力都不强的人来说，要从上式归纳出“缺8数”的性质来，可是件难事，我们从中可以悟出一个道理，善于观察和推理是通往神机妙算的桥梁。

    计算等差数列之和，对于有初等代数知识的人来说，是最容易不过的事，大家知道，这有一个公式可利用：

    1+2+3+4+……nn×(n+1)〖〗2

    如果要从1加起，加到100，那么用100来代入上式中的n，可得总和为5050。

    求等差数列和公式是由谁发现的？又是怎样发现的？恐怕不是每一个人都能说得出的。

    求等差数列和公式是由古希腊数学家毕达哥拉斯建立的。他采用形象简便的图示办法，把许多小石头堆列成三角形数，如图1所示：为了得到原来三角形数的一般表达式，他把同一个三角形数倒转加到这原来的三角形数上，构成一个平行四边形，其中一个有n个小石子，另一个有n+1个小石子。如图2所示：

    因而有下列等式：

    2×(1+2+3+……+n)=n×(n+1)

    1+2+3+……+n=n×(n+1)〖〗2

    数学史上，还有一个相映成趣的故事：

    100多年前，在德国某小学低年级的一个班里，有几个孩子发出了闹声，因此老师决定惩罚他们一下。放学后把几个孩子留下来罚做算术：从1加到100。正当别的孩子还在抓头挠耳时，一个孩子向窗外望了望，便交了卷。老师一看只好让他先走。第二天老师兴致勃勃地问他怎么这样快就找到了答案。孩子机敏地回答说：“我想这道题目一定有一个快做的好办法，我找到了一个。您知道，100加1是101，99加2也是101，这样一直加下去就有了50个101，也就是5050。”

    这个孩子就是后来的大数学家高斯。

    在二千多年前，毕达哥拉斯就建立等差数列公式，自然是值得千古称道的事情。高斯的独立发现也有着异曲同工之妙。对于一个年仅8岁的娃娃来说，这是一个了不起的惊人发现。他动脑筋的时间是如此之短，表明他的思维是何等的敏捷。小高斯还没有受到逻辑思维的训练，但是他已具备某些朴素的逻辑推理能力。尽管他当时没有说他运用了哪种推理形式，我们仍然可以根据推导过程加以整理。可列成下式：

    1+100=101

    2+99=101

    3+98=101

    4+97=101

    50+51=101

    这50对是从1加到100的全部，每一对都是101。

    这是一个完全的归纳推理。形式逻辑的归纳推理，就是指从个别性前提推出全类一般性结论的推理。它分完全归纳推理和不完全归纳推理两种。完全归纳推理的前提是关于个别性知识的论断，而结论是关于一般性知识的论断。因此，使用完全归纳推理可得到概括性的结论。它既是一种发现方法，又是一种证明方法。

    应用完全归纳推理要具备两条：一是必须确认所研究的那类对象的每一个对象，二是必须确认所概括的那一属性是该类每一对象都具有的。由于第一条的限制，完全归纳推理不适用于有大量分子或无穷分子所组成的类。因此，这种归纳推理有很大的局限性。由于完全归纳推理在前提中考察的是某类的全部对象，而不是某类的一部分对象，因此结论没有超出前提所断定的范围，也就是说，结论是必然得出的。

    小高斯要计算的是有限的等差数列之和，适合使用完全归纳推理；毕达哥拉斯要计算的是任意大的等差数列之和，形式逻辑的完全归纳推理就失掉了威力。他所采用的图示方法实际上是运用了数学归纳法。毕达哥拉斯求得的是等差数列的一般公式，高斯解决的仅仅是一个实例，高低优劣自不待说。我们总不能去苛求小高斯吧。

    下面我们附带介绍一种二位数减法的快速方法。例如，93减39等于几？如果按部就班地做减法，总得费点心计。我们可以用9减去3得6，再用6乘9得54。又如，求86减68的差，我们可以用8减6得2，用2乘9得18。上面两例有个共同特点，即两个二位数的个位数和十位数是正好相反的。求100以内的所有这类二位数的差，都可以用上述先做减法后做乘法的办法来求，虽然有两个步骤，但几乎可以应声而答。这种算法能被概括出来，也是完全归纳推理的应用。

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